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57363.Re: (untitled)  
名前:IT    日付:2017年9月25日(月) 20時46分
(前半部分)
x1,x2 は紛らわしいので、α,βと書きます。

α,βはx^2=-(x-a)^2+b …@の2解でβ-α=2…A
@を整理すると,x^2-ax+(a^2-b)/2=0…B
Aを2乗すると,(β-α)^2=4
整理すると  ,(α+β)^2-4αβ=4
解と係数の関係からa^2-2(a^2-b)=4
       ∴ b=(a^2)/2+2.
これをBに代入,x^2-ax+(a^2)/4-1=0
因数分解して, (x-((a/2)-1))(x-((a/2)+1))=0
このとき, α=(a/2)-1,β=(a/2)+1 となる.

したがって,P(α,α^2)は放物線A:y=x^2上の任意の点を動く。

(後半部)
線分P(α,α^2)Q(α+2,(α+2)^2) 上の点をR(x,y) とすると,
0≦t≦1 があって,
 x=(1-t)α+t(α+2)=α+2t …C
 y=(1-t)α^2+t(α+2)^2
  =α^2+4αt+4t
  =(α+2t)^2-4t^2+4t
Cを代入
  =x^2-4(t-1/2)^2+1…D
0≦t≦1においてDはt=0,1のとき最小値x^2,t=1/2のとき最大値x^2+1でその間のすべての値を取る。

したがって,Rのx座標として任意の実数xをとり固定したとき
 x-2≦α≦xでαを動かすことができ,tは0≦t≦1のすべての値をとるので,
 yはx^2≦y≦x^2+1のすべての値をとる。

以上から,線分PQの通過する領域はy=x^2とy=x^2+1の間のすべての領域(境界線を含む)となる.

(注)放物線y=x^2,線分PQ,線分上の点Rを描いて考えると分かり易いと思います。

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57352.Re: (untitled)  
名前:y    日付:2017年9月24日(日) 15時1分
存在条件 はどうなりましたか?
P(x1、y1)は放物線A:y=x^2上の任意の点になると思います。

メイン部分の方針だけ

線分P(x1、y1)、Q(X2 Y2)上の点は,((1-t)x1+tx2,(1-t)y1+ty2),0≦t≦1と表せます。
ここにx2=x1+2,y1=(x1)^2,y2=(x2)^2=(x1+2)^2 を代入して整理します。

線分PQは放物線y=x^2の上側にあります。
またPは放物線y=x^2の任意の点を通ります。

放物線y=x^2上の各点について線分PQ上の点がどれだけ上に来るかを調べます。
t=0,1のとき0で t=1/2 のとき(PQの中点で) 最大値1になると思います。

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57351.(untitled)  
名前:えりか    日付:2017年9月24日(日) 13時36分
2つの放物線 A:y=x^2、B:y=-(x-a)^2+bは異なる2点P(x1、y1)、Q(X2 Y2)で交わるとする。
x2-x1=2を満たしながらa,bが変化するとき、線分PQの通過する領域を求め図示せよ。
存在条件に帰着させるというのはわかるんですが、なかなか解けません。
解答作っていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします
(高校 2 年/質問者)
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