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57355.Re: 融合問題  
名前:X    日付:2017年9月24日(日) 19時29分
大問2問目)
A=a+b+c (A)
B=ab+bc+ca (B)
とします。
(1)
f(x)を展開した上で(A)(B)を代入すると
f(x)=x^3-Ax^2+Bx-abc (C)
∴f'(x)=3x^2-2Ax+B
条件からα、βはxの二次方程式f'(x)=0の解ゆえ
解と係数の関係から
α+β=2A/3 (D)
αβ=B/3 (E)
よって
(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ
=(4/9)A^2-4B/3

(2)
必要な括弧はきちんとつけましょう。
>>q-p/(β-α)^3

(q-p)/(β-α)^3
と解釈して回答を。
(C)より
q-p=f(β)-f(α)=(β^3-α^3)-A(β^2-α^2)+B(β-α)
=(β-α){(β^2+βα+α^2)-A(β+α)+B}
=(β-α){(α+β)^2-2αβ-A(α+β)+B}
これに(D)(E)を代入すると
=(β-α){(4/9)A^2-2B/3-2A/3+B}
=(β-α){(4/9)A^2-2A/3+B/3}
よって
(q-p)/(β-α)^3={(4/9)A^2-2A/3+B/3}/(β-α)^2
これに(1)の結果を代入して
(q-p)/(β-α)^3={(4/9)A^2-2A/3+B/3}/{(4/9)A^2-4B/3}
=(4A^2-6A+3B)/(4A^2-12B)
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57354.Re: 融合問題  
名前:X    日付:2017年9月24日(日) 19時13分
大問一問目)
次回からは必要な括弧はきちんとつけましょう。
>>y=a-1/2x

y=a-(1/2)x
と解釈して回答を。

条件から
0≦x≦2aのとき
z={1-x-a+(1/2)x}x
=-(1/2)x^2+(1-a)x
=-(1/2){x-(1-a)}^2+(1/2)(1-a)^2 (A)
2a<xのとき
z=(1-x)x
=-(x-1/2)^2+1/4 (B)
よって横軸にx、縦軸にzを取った(A)(B)の
グラフがそれぞれ定義域内に
対称軸が含まれるか否か
で場合分けをします。

(i)2a<1-aかつ1/2≦2a、つまり1/4≦a<1/3のとき
(A)(B)のグラフの軸はいずれも定義域外となりますので
zはx=2aのときに最大になり
b=2a(1-2a)
(ii)1-a≦2aかつ1/2≦2a、つまり1/3≦aのとき
(A)のグラフの軸は定義域内
(B)のグラフの軸は定義域外
となります。
((A)(B)のグラフを描きましょう)
∴bはx=1-aのときに最大になり
b=(1/2)(1-a)^2
(iii)2a<1-aかつ2a<1/2、つまりa<1/4のとき
(A)のグラフの軸は定義域外
(B)のグラフの軸は定義域内
となります。
((A)(B)のグラフを描きましょう)
∴bはx=1/2のときに最大になり
b=1/4
(iv)1-a≦2aかつ2a<1/2のとき
このようなaの値は存在しないので不適。

以上をまとめて
a<1/4のときb=1/4
1/4≦a<1/3のときb=2a(1-2a)
1/3≦aのときb=(1/2)(1-a)^2
となります。
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57353.融合問題  
名前:リンリン    日付:2017年9月24日(日) 16時9分
aは正の実数の定数とする。

y=a-1/2x (0≦x≦2a)、y=0 (2a<x) とする。

この時z=(1-x-y)xの最大値z(a)をaの関数として求め、b=z(a)をab平面上に図示せよ。


関数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)はx=αで極小値pをx=βで極大値qをとる。

⑴ (β-α)^をA=a+b+c、B=ab+bc+caを用いて表せ。

⑵q-p/(β-α)^3の値を求めよ。

全然わかりません。解答よろしくお願いします。
(高校 3 年)

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