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57420.Re: 置換積分の積分区間について  
名前:かおる    日付:2017年9月30日(土) 11時44分
皆様ありがとうございました。
勉強になりました!
またよろしくお願いいたします。
(数学愛好者/質問者)
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57409.Re: 置換積分の積分区間について  
名前:黄桃    日付:2017年9月29日(金) 8時50分
おっと失礼、問題文を空目しました。
私の記事は無視してください。

#らすかるさんのおっしゃる通りです。
#逆関数が一価でない場合と空目しました。
fp276e1bf1.chbd224.ap.nuro.jp (39.110.27.241)
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57403.Re: 置換積分の積分区間について  
名前:IT    日付:2017年9月28日(木) 19時43分
> 定積分を置換積分で求める場合、積分区間では1対1でなければなりません。
> 1対1というよりは、グラフが
> 「単調減少」(水平にはならず常に右肩下がり)か「単調増加」(水平にならず右肩上がり)
> の場合とした方がいいかもしれません。

手持ちのテキスト「微分積分学講義(野村隆昭 共立出版)」「微分積分学(笠原こうじ サイエンス社)」では、
そのような条件(・・・1対1など)はついていません。

それぞれ、合成関数の微分を使って証明しています。

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57402.Re: 置換積分の積分区間について  
名前:らすかる    日付:2017年9月28日(木) 15時44分
> 定積分を置換積分で求める場合、積分区間では1対1でなければなりません。
> 1対1というよりは、グラフが
> 「単調減少」(水平にはならず常に右肩下がり)か「単調増加」(水平にならず右肩上がり)
> の場合とした方がいいかもしれません。

私もそう思っていたのですが、検索すると(高校範囲の学習に則っているか
どうかは別として)一概にそうとも言えないみたいです。
# ただし結局増加区間と減少区間での場合分けになりますので、
# 通常の場合はそのような置換にメリットはないですが。

> #このような置換がOKなら、∫[a,b] f(x)dx において、t=(x-a)(x-b) と置換すれば、
> #tの積分範囲が0→0になるので、fが何であっても積分が0になります。

t=(x-a)(x-b)と置換すると、xの範囲によってf(x)の置換後の関数が
(一般には)変わりますので、範囲を途中で分ける必要があり、
置換後の関数をa≦x≦(a+b)/2のときg(t),(a+b)/2≦x≦bのときh(t)とすれば
∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,(a+b)/2]f(x)dx + ∫[(a+b)/2,b]f(x)dx
= ∫[0,-(a-b)^2/4]g(t)dt + ∫[-(a-b)^2/4,0]h(t)dt
= …
のようになって正しく値が出るようです。
(というよりは単調区間に分けていますので正しく出て当然ですね。)

元の問題の場合はたまたまどの範囲でも置換後の関数が変わりませんので、
結局∫[0,0]u^2 du = 0で問題ないと思います。

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57401.Re: 置換積分の積分区間について  
名前:黄桃    日付:2017年9月28日(木) 7時21分
正しくありません。
定積分を置換積分で求める場合、積分区間では1対1でなければなりません。
1対1というよりは、グラフが
「単調減少」(水平にはならず常に右肩下がり)か「単調増加」(水平にならず右肩上がり)
の場合とした方がいいかもしれません。

#このような置換がOKなら、∫[a,b] f(x)dx において、t=(x-a)(x-b) と置換すれば、
#tの積分範囲が0→0になるので、fが何であっても積分が0になります。

u=sin(t)とする場合、 0≦t≦2π の範囲では、tとuは1対1ではありませんからダメです。
この場合、uは0から始まって1に行き、そこから減少して-1に行き、最後に0に戻ってきますから、
uが0から1の区間(tが0からπ/2)、1から-1の区間(tがπ/2から3π/2)、-1から0の区間(tが3π/2から2π)
の3つに分ければOKです。

#この問題では t=2π-u と置くと簡単に0になることがわかりますが、
#3つの区間に分けて定積分を計算しても0になることがわかります。
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57377.置換積分の積分区間について  
名前:かおる    日付:2017年9月25日(月) 21時41分
∫[0→2π](sint)^2・costdtの計算で、sint=uと置換すると、uの積分区間はサインのグラフを見ながら0→0となる。よって積分の値は0になる。これは正しいのでしょうか?積分の値は0で合っているようなのですが、新たな積分区間0→0が自信がありません。どなたかお願いいたします。
(数学愛好者/質問者)
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