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57669.Re: 数列と極限  
名前:HB    日付:2017年10月25日(水) 21時45分
e^-xです...
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57667.Re: 数列と極限  
名前:X    日付:2017年10月25日(水) 21時14分
>>a_n=∫[0,1]x^n*e^xdx

a[n]=∫[0〜1](x^n){e^(-x)}dx
のタイプミスとみて回答を。

(1)
部分積分により
a[n]=[-(x^n)e^(-x)][0〜1]+n∫[0〜1](x^(n-1)){e^(-x)}dx
∴a[n]=na[n-1]-1/e

(2)
(1)の結果により
a[n]/n!=a[n-1]/(n-1)!-(1/e)/n!
∴n≧2のとき
a[n]/n!=a[1]/1!-Σ[k=2〜n](1/e)/k! (A)
ここで
a[1]=∫[0〜1]{xe^(-x)}dx
=[-xe^(-x)][0〜1]+∫[0〜1]{e^(-x)}dx
=-1/e+(1-1/e)
=1-2/e
∴(A)は
a[n]/n!=1-2/e-Σ[k=2〜n](1/e)/k!
a[n]/n!=1-Σ[k=0〜n](1/e)/k!
Σ[k=0〜n]1/k!=e-ea[n]/n! (A)'
ここで
0<a[n]<∫[0〜1]{e^(-x)}dx=1-1/e
∴(A)'より
e-(1-1/e)/n!<Σ[k=0〜n]1/k!<e
よってはさみうちの原理により
Σ[n=0〜∞]1/n!=e
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57657.数列と極限  
名前:HB    日付:2017年10月24日(火) 21時4分
数列{a_n}をa_n=∫[0,1]x^n*e^xdx(n=0,1,2,...)で定める.
(1)n=0,1,2,...に対し,a_(n+1)をa_nで表せ.
(2)無限級数Σ[n=0,∞]1/n!の和を求めよ.

この問題を教えて下さい
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