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57924.Re: (untitled)  
名前:X    日付:2017年11月23日(木) 7時54分
以下、例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。

(1)
点Aを中心として点Pを点Qに回転移動させる操作を
考えると
β=a+(z-a)・{{(b-a)/(z-a)}/|(b-a)/(z-a)|}^2
これを整理すると
β=a+(b-a)(\z-\a)/(\b-\a) (A)
ここで条件から
|z|=|a|=|b|=1
∴|z|^2=|a|^2=|b|^2=1
z\z=a\a=b\b=1

\z=1/z (B)
\a=1/a (C)
\b=1/b (D)
(B)(C)(D)を(A)に代入して
β=a+(b-a)(1/z-1/a)/(1/b-1/a)
=a-ab(1/z-1/a)
=a+b-ab/z

(2)
条件から↑BC⊥↑HA
∴これを複素数の関係で表すと
(w-a)/(b-c)が準虚数
とならなければなりません。
よって(w-a)/(b-c)の実部が0ですので
{(w-a)/(b-c)}+\{(w-a)/(b-c)}=0 (E)
ここで(C)(D)と同様にして
\c=1/c
であることに注意して(E)に(C)(D)などを
用いると
{(w-a)/(b-c)}+(\w-1/a)/(1/b-1/c)=0
これを整理すると
w-a+bc(\w-1/a)=0 (E)'
同様に↑CA⊥↑HBから
w-b+ca(\w-1/b)=0 (F)
(E)'(F)をw,\wについての連立方程式
として解きます。
こちらの計算では
w=a+b+c
となりました。

(3)
問題の命題は
↑HQ=k↑HR (G)
(kは0でない実数)
あることと同値です。
(G)を複素数の関係で表すと
β-w=k(γ-w)
⇔(β-w)/(γ-w)=k
よって問題の命題は
(β-w)/(γ-w)の虚数部が0
であること、つまり
(β-w)/(γ-w)-\{(β-w)/(γ-w)}=0 (H)
と同値になります。
ということで(1)(2)の結果を使って
(H)を証明します。

((1)と同様にして
γ=(c+a)-ca/z (I)
となることに注意して(H)の左辺に
(1)(2)の結果と(I)を代入し、
ひたすらガリガリ変形して
(H)の右辺と等しくなることを示します。)
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57843.(untitled)  
名前:十勝侍    日付:2017年11月15日(水) 0時16分
Original Size: 1109 x 1479, 246KB

解法を教えて下さい。
(高校 3 年/質問者)

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