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57923.Re: 素数に関する小命題一つ  
名前:CEGIPO    日付:2017年11月20日(月) 7時51分
お礼遅れました。
らすかるさん、丁寧な回答ありがとうございます。
そういうやり方もあるんですね。
勉強になりました。
(社会人/質問者)

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57896.Re: 素数に関する小命題一つ  
名前:らすかる    日付:2017年11月17日(金) 9時9分
良いと思います。
以下のようにまとめることもできますね。
(6s-1)(6s+1)(12s-1)(12s+1)=5184s^4-180s^2+1
5184s^4-180s^2+1≡4s^4-20s^2+16=4(s-2)(s-1)(s+1)(s+2) (mod5)なので
sが5の倍数でないとき6s-1,6s+1,12s-1,12s+1のいずれかが5の倍数
5184s^4-180s^2+1≡4s^4-40s^2+36=4(s-3)(s-1)(s+1)(s+3) (mod7)なので
s≡±1,±3(mod7)のとき6s-1,6s+1,12s-1,12s+1のいずれかが7の倍数
s/5≡0,±1,±2,±3(mod7)のそれぞれに対して
順にs≡0,±5,±3,±1(mod7)なので、
s≡±1,±3(mod7)となるのはs/5≡±2,±3のとき。
s>1のとき5<7<6s-1<6s+1<12-1<12s+1なので
sが5の倍数でないときは10以上の5の倍数が含まれ、
sが5の倍数かつs/5≡±2,±3(mod7)のときは14以上の7の倍数が含まれる。

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57895.素数に関する小命題一つ  
名前:CEGIPO    日付:2017年11月17日(金) 8時9分
計算機をいじっていてみつけました。
自作問題です。

※下記、双子素数の話題が出てきますが
ここでは無限に存在する事を示す論証ではなく
(最終目的は無謀にもそれですが)
平易な命題(と推測されるので)こちらに書きます。

こんな事を「発見」しました。

sを自然数として
(6s-1,6s+1)が双子素数になったとします。
(12s-1,12s+1)もまた双子素数になるだろうか?と確かめてみました。

すると次のような必要条件(必要十分条件ではない)らしきものを
見つけたのです。

/**********************************************/
(命題1)
sを自然数として
(6s-1,6s+1),(12s-1,12s+1)が
共に双子素数となるためには
次の条件を満たすことが「必要」である。

1a)s=1
または
1b) sは5の倍数となり、かつ、
(s/5)を7で割った余りが0,1,6のいずれかになる
/**********************************************/

証明は可能でしょうか?
(または反例があるか)

(計算機で検証しただけなので数学的論証はしていません。)

よろしくお願いします。

で、丸投げしようかと思いましたができそうなので
自分でやって(証明して)みました。これで正しいでしょうか?


////////////////////////////////////////

(証明)

1a)

s=1の時
(6s-1,6s+1)=(5,7),(12s-1,12s+1)=(11,13)で共に双子素数なので成り立つ

1b)
必要条件として示せばよいので
命題の条件を満たさない場合に(6s-1,6s+1),(12s-1,12s+1)のいずれかが
双子素数にならない事を示せばよい。

s=5t1+1(t1:自然数,t1≧1)の時
(6s-1,6s+1)
=(6(5t1+1)-1,6(5t1+1)+1)
=(5(6t1+1),30t1+7) 双子素数でない

s=5t2+2(t2:整数,t2≧0)の時
(12s-1,12s+1)
=(12(5t2+2)-1,12(5t2+2)+1)
=(60t2+23,5(12t2+5)) 双子素数でない

s=5t3+3(t3:整数,t3≧0)の時
(12s-1,12s+1)
=(12(5t3+3)-1,12(5t3+3)+1)
=(5(12t3+7),60t3+37) 双子素数でない

s=5t4+4(t4:整数,t4≧0)の時
(6s-1,6s+1)
=(6(5t4+4)-1,6(5t4+4)+1)
=(30t4+23,5(6t4+5)) 双子素数でない

s=5t5(t5:自然数,t5≧1)の時
・t5=7u1+2(u1:整数,u1≧0)の時
(12s-1,12s+1)
=(12(5(7u1+2))-1,12(5(7u1+2))+1)
=(420u1+119,420u1+121)
=(7(60u1+17),420u1+121) 双子素数でない

・t5=7u2+3(u2:整数,u2≧0)の時
(12s-1,12s+1)
=(6(5(7u2+3))-1,6(5(7u2+3))+1)
=(210u2+89,210u2+91)
=(210u2+89,7(30u2+13)) 双子素数でない

・t5=7u3+4(u3:整数,u3≧0)の時
(6s-1,6s+1)
=(6(5(7u3+4))-1,6(5(7u3+4))+1)
=(210u3+119,210u3+121)
=(7(30u3+17),210u3+121) 双子素数でない

・t5=7u4+5(u4:整数,u4≧0)の時
(12s-1,12s+1)
=(12(5(7u4+5))-1,12(5(7u4+5))+1)
=(420u4+299,420u4+301)
=(420u4+299,7(60u4+43)) 双子素数でない

よって、命題1は成り立つ

Q.E.D.

////////////////////////////////

これでいいでしょうか?
(社会人/質問者)

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