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57974.Re: ベクトル  
名前:X    日付:2017年11月30日(木) 19時1分
まずは前準備。
条件から
|↑a|=1 (A)
|↑b|=2 (B)
|↑c|=3 (C)
↑a・↑b=↑b・↑c=↑c・↑a=0 (D)

(1)
条件から
↑k=(1-t)↑b+t↑c (E)
よって
前半)
↑a・↑k=↑a・{(1-t)↑b+t↑c}
=(1-t)↑a・↑b+t↑c・↑a
(D)を代入して
↑a・↑k=0

後半)
(E)より
|↑k|^2=|(1-t)↑b+t↑c|^2
右辺を展開して(B)(C)(D)を代入すると
|↑k|^2=4(1-t)^2+9t^2
=13t^2-8t+4
∴|↑k|=√(13t^2-8t+4)

(2)
AH:HK=u:1-u
と置くと
↑OH=(1-u)↑a+u↑k (F)
一方、OH⊥AKゆえ
↑OH・↑AK=0 (F)
(E)(F)より
{(1-u)↑a+u↑k}・(↑k-↑a)=0
これより
(1-u)|↑a|^2+(2u-1)↑a・↑k-u|↑k|^2=0
これに(1)の前半の結果を代入すると
(1-u)|↑a|^2-u|↑k|^2=0
u={|↑a|^2}/{|↑a|^2+|↑k|^2}
よって
AH:HK={{|↑a|^2}/{|↑a|^2+|↑k|^2}}:{1-{|↑a|^2}/{|↑a|^2+|↑k|^2}}
=|↑a|^2:|↑k|^2

(3)
(2)の結果により
↑OH={{|↑k|^2}↑a+{|↑a|^2}↑k}/{|↑a|^2+|↑k|^2}}
これに(1)の結果と(A)(E)を代入して
↑OH={(13t^2-8t+4)↑a+(1-t)↑b+t↑c}/(13t^2-8t+5)

(4)
(2)における点Hの定義から、OHが平面ABC上の
AK以外の直線と垂直となれば題意を満たします。
そこで
AB⊥OH
を考えると
↑AB・↑OH=0
これに(3)の結果などを代入すると
(↑b-↑a)・{{(13t^2-8t+4)↑a+(1-t)↑b+t↑c}/(13t^2-8t+5)}=0
これより
(↑a-↑b)・{(13t^2-8t+4)↑a+(1-t)↑b+t↑c}=0
左辺を展開して(A)(B)(D)を代入すると
(13t^2-8t+4)-4(1-t)=0
13t^2-4t=0
∴0<t<1より
t=4/13
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57959.ベクトル  
名前:ふゆ    日付:2017年11月28日(火) 22時32分
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途中式もお願いします
連投すみません
(質問者)
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