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582.Re: ε-δ論法  
名前:アイス    日付:2020年2月27日(木) 18時50分
mさん、本当にありがとうございます。ずっと悩んでいたので大変助かりました‼ 確かにε≦2とε>2で書き間違えてしまいました。迷惑をかけてすいません、グラフもわざわざありがとうございます、本当に助かりました。
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581.Re: ε-δ論法  
名前:m    日付:2020年2月27日(木) 17時23分
(i)はε<2のとき、(ii)はε≧2のとき、の間違いですね。

とりあえず、δの見つけ方を。
(y=√(x+1), y=2, x=3, y=2±ε (ε=1) のグラフを描くと分かりやすいかも)
グラフ描きました。εを動かせます。

εが小さいとき、
(ε-δで具体的なδを求めるときは、δの満たすべき等式をつくるとラクなことがあります。特にグラフが分かりやすいときは。)
y=√(x+1)のグラフを描くと、狭義単調増加で、x=3の近くでは左側の方が変化が大きいので
左端 x = 3-δ での評価を考えれば十分です。
つまり、δは √((3-δ)+1) = 2-ε をみたすように取ればいい。
これを解くと δ = 4ε-ε^2 が得られます。

しかし、この考え方は、εが大きいときには破綻します。
実際、グラフは (y≧0) x≧-1 でしか定義できないので、ε≧2のとき、「左端の評価」は不可能です。
なので、ε≧2の場合を別に考える必要があります。


場合分けが必要な別の理由:
ε≧4のときは、4ε-ε^2≦0になるので、これでは正の数としてδを定義することができません。
これを回避するための場合分けともいえます。
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580.ε-δ論法  
名前:アイス    日付:2020年2月27日(木) 13時56分
問題
lim (x→3) √(x+1) = 2 であることをε-δ式論法によって証明せよ.

解答
与えられたε>0に対して,δ>0を次のように決める.
( @ ) ε≧2のとき:
  δ=4ε - ε^2 とおくと,
  0< |x-3|<δ すなわち 0< |x-3|< 4ε - ε^2 のとき, 
  3-(4ε - ε^2) < x < 3+(4ε - ε^2)
∴ (2-ε)^2 < x+1 < (2+ε)^2 - 2ε^2 < (2+ε)^2
∴ 2-ε < √( x+1) < 2+ε
∴ | √( x+1) -2 | < ε

(A) ε<2のとき:
δ=4 とおくと,
 0< |x-3|<δ すなわち 0< |x-3|< 4 のとき,
 0 < x+1 < 8
∴ 0 < √( x+1) < √8 < 4
∴ | √( x+1) -2 | < 2< ε
              (証明終了)


この問題についての質問なんですが
(@)と(A)の場合分けの意図(なんでここで場合分けしているのか)がわからなかったのと、(@)のときの解答で “ δ=4ε - ε^2 とおくと,” の部分がなぜこうおけるのかが色々考えてみたのですがわかりませんでした。
教えていただけるとありがたいです。
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