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58223.Re: 阪大2次 微分可能性  
名前:X    日付:2018年1月6日(土) 23時37分
(1)
数学的帰納法を使います。

(2)
(a)から任意の実数列{a[n]}に対し
f(Σ[k=1〜n]a[k])Σ[k=1〜n]f(a[k]) (A)
(証明は省略します。)
∴任意の自然数lに対し
f(1)=f(Σ[k=1〜l]1/l)
=Σ[k=1〜l]f(1/l)
=lf(1/l)
∴f(1/l)=(1/l)f(1)
=a/l (B)
さて、rは有理数であることから
r=n/m
(n,mは互いに素な自然数)
と表すことができます。
よって
f(r)=f(n/m)=f(Σ[k=1〜n]1/m)
=Σ[k=1〜n]f(1/m) (∵)(A)より
=n・a/m (∵)(B)より
=a(n/m)
=ar

(3)
条件から任意の実数xに対し
x=lim[n→∞]b[n]
なる有理数列{b[n]}が存在します。
よって(b)により
f(x)=lim[n→∞]f(b[n])
=lim[n→∞]ab[n] (∵)(2)の結果より
=ax

(4)
(3)の結果を使って
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
が収束することを示します。
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58221.阪大2次 微分可能性  
名前:たにやま    日付:2018年1月6日(土) 23時7分
この問題を教えてください。かなり難しいです...

実数ℝからℝへの関数fは次の2つの条件を満たすとする。
(a)任意の実数x,yに対しf(x+y)=f(x)+f(y)

(b)fは連続である。つまりlim(n→∞)a_n=αならばlim(n→∞)f(a_n)=f(α)

この2つの仮定からfの微分可能性を導こう。

⑴f(1)=aとおく。任意の整数nに対しf(n)=anとなる事を示せ。

⑵任意の有理数rに対しf(r)=ar を示せ。

⑶一般に、任意の実数は必ずある有理数列の極限で表せる事が知られている。
この事を用いて任意の実数xに対しf(x)=ax を示せ。

⑷f(x)は任意の実数xに於いて微分可能である事を定義に基づいて示せ
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