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58298.Re: 三角関数  
名前:らすかる    日付:2018年1月20日(土) 0時28分
xy平面上でP(A,cosA),Q(B,cosB),R(C,cosC)の3点からなる三角形を考える。
以下「cosxの凸性」とは「0<x<π/2でy=cosxが上に凸であること」を示す。

(1)A,B,Cのうち最大のものがπ/2より大きい場合
最大角をCとする。またS(π-C,cos(π-C))とおく。
cosxの(π/2,0)に関する点対称性により、点Rと点Sの中点は(π/2,0)。
A<π-Cから点Pは点Sより左側にあるので、
cosxの凸性から点Pは直線SRより下側にある。
さらに(A+C)/2<π/2なので、点Pと点Rの中点Mは
0<x<π/2の範囲でcosxのグラフより下側にある。
そして0<B<π/2なので、線分QMを2:1に内分する点
すなわち△PQRの重心もcosxの凸性により
cosxのグラフより下側にある。

(2)A,B,Cのうち最大のものがπ/2以下の場合
点P,点Q,点Rがすべて0<x≦π/2の範囲にあるので、
点P,点Q,点Rがすべて異なる場合はcosxの凸性から
△PQRの重心はcosxのグラフより下側にある。
点P,点Q,点Rのうちちょうど2点が同一の場合は△PQRが出来ないが、
重心に相当する((A+B+C)/3,(cosA+cosB+cosC)/3)はやはり
cosxのグラフより下側にある。
点P=点Q=点Rの場合は、((A+B+C)/3,(cosA+cosB+cosC)/3)は
グラフ上の点(π/3,1/2)となる。

従っていずれの場合も
(cosA+cosB+cosC)/3≦cos((A+B+C)/3)=cos(π/3)=1/2なので
等号が成り立つ点P=点Q=点Rの時すなわちA=B=C=π/3の時が
最大となり、最大値は3/2。

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58296.三角関数  
名前:たにやま    日付:2018年1月19日(金) 22時11分
cosA+cosB+cosC(三角形の内角)の最大値を加法定理を用いずに求めよ。
ただしsincosカーブの凸性を認めるものとする。

教えてください。。。
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