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58370.Re: 整数に関する命題の証明(不備がないか)  
名前:CEGIPO    日付:2018年1月24日(水) 17時42分
/*****************************************/
(パターン3−2)

6 n -sign[n ]=q[n ]r[n ],6 n +sign[n ]=s[n ]
6(n+1) -sign[n+1 ]=q[n+1 ]r[n+1 ],6(n+1) +sign[n ]=s[n+1 ]
...
6(n+k0[i]-1)-sign[n+k0[i]-1]=q[n+k0[i]-1]r[n+k0[i]-1],6(n+k0[i]-1)+sign[n+k0[i]-1]=s[n+k0[i]-1]
6(n+k0[i] )-sign[n+k0[i] ]=q[n+k0[i] ]r[n+k0[i] ],6(n+k0[i] )+sign[n+k0[i]] =s[n+k0[i] ]
6(n+k0[i]+1)-sign[n+k0[i]+1]=q[n+k0[i]+1]r[n+k0[i]+1],6(n+k0[i]+1)+sign[n+k0[i]+1]=s[n+k0[i]+1]
...
6(n+n ) -sign[n+n] =q[n+n ]r[n+n ],6(n+n) +sign[n+n] =s[n+n ]

sign[n+k0[i]]=-1(1≦i≦∃自然数m,0≦k0[i]≦n,k0[i]<k0[j](i<j))、他のsign[]は1

...[A4]
/****************************************/

とおけたと仮定して矛盾が生じることを示す。

//////////////////////////

q[n+k+1] > q[n+k], r[n+k+1] > r[n+k] と仮定すると
[A4]の式形よりq[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]はすべて奇数だから
また、[A0]の制約条件により
q[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]≧5だから

q[n+k+1]-q[n+k]≧2, r[n+k+1]-r[n+k]≧2で

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧5*2+2*5=20 > 6,4,8 で不適。

/////////////////////////

q[n+k+1] ≧ q[n+k], r[n+k+1] > r[n+k] と仮定すると
[A4]の式形よりq[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]はすべて奇数だから
また、[A0]の制約条件により
q[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]≧5だから

q[n+k+1]-q[n+k]≧0, r[n+k+1]-r[n+k]≧2で

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧5*2=10 > 6,4,8 で不適。

////////////////////////

q[n+k+1] > q[n+k], r[n+k+1] ≧ r[n+k] と仮定すると
[A4]の式形よりq[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]はすべて奇数だから
また、[A0]の制約条件により
q[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]≧5だから

q[n+k+1]-q[n+k]≧2, r[n+k+1]-r[n+k]≧0で

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧2*5=10 > 6,4,8 で不適。

///////////////////////

q[n+k+1] = q[n+k], r[n+k+1] = r[n+k] と仮定すると
q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=0≠6,≠8,≠4で不適。

//////////////////////

したがってパターン3−2が成立するためには

q[n+k+1] < q[n+k] または r[n+k+1] < r[n+k]
でなければならない。

q[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)とおいて題意を失わない。

////////////////////

今、6n-sign[n]=q[n]r[n]で

n≧7であれば(n0は十分に大きな自然数をとるので
これでも問題ない)
n^2-6n+sign[n]=(n-3)^2-9+sign[n]≧6>0
だから6n-sign[n]<n^2
すなわちq[n]r[n]=6n-sign[n]<n^2

よって、q[n],r[n]の少なくとも一方は
q[n]<nかr[n]<nである。

/////////////////////////////////

q[n]≦nと仮定してみる。

すると先ほどq[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)
とおいたのであったから
q[n]≦n
q[n+1]≦n-1
q[n+k+1]≦n-k-1
q[n+n]≦n-n=0で不適。

したがって
q[n]>n,r[n]<nでなければならない。

//////////////////////////////////

今、q[n+k]=n32とおくと
q[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)より

q[n+k]=n32
q[n+k+1]≦n32-1
...
q[n+n]≦n32-(n-k)

よって、q[n+n]≧5より
n32-(n-k)≧5
すなわち
n32≧n+5-k

6(n+k)-sign[n+k]=q[n+k]r[n+k]
だったから
6(n+k)-sign[n+k]=q[n+k]r[n+k]=n32r[n+k]≧(n+5-k)r[n+k]

r[n+k]≦(6n+6k-sign[n+k])/(n+5-k)
=(6n+30-6k+12k-30-sign[n+k])/(n+5-k)
=6+(12k-30-sign[n+k])/(n+5-k)

k≦2の時
r[n+k]≦6+(12k-30-sign[n+k])/(n+5-k)
≦6+(24-30-sign[n+k])/(n+5-k)
=6-(6+sign[n+k])/(n+5-k)
<6

よって、k≦2の時
r[n+k]は必ず5でなければならない。

6 n -sign[n ]=r[n ]q[n ]=5q[n ]
6(n+1)-sign[n+1]=r[n+1]q[n+1]=5q[n+1]
6(n+2)-sign[n+2]=r[n+2]q[n+2]=5q[n+2]

{6(n+1)-sign[n+1]}-{6 n -sign[n ]}=5q[n+1]-5q[n ]=6-(sign[n+1]-sign[n ])
{6(n+2)-sign[n+2]}-{6(n+1)-sign[n+1]}=5q[n+2]-5q[n+1]=6-(sign[n+2]-sign[n+1])

...[A6]

このようなq[n]〜q[n+2]を設定するのは不可能である。
(∵[A6]二式右辺の取り得る値の範囲は6,4,8のいずれかであり
いずれの場合も素因数5を含まない。)

したがってこの場合も不適である。
よって、パターン3−2も成り立たない。

/*#############################################*/

以上の考察により大仮定のすべてのパターンを
網羅したから結局
大仮定そのものが成り立たない事が証明された。

Q.E.D.

/*----------------------------------------------------------------------*/
以上4ページに渡って我流の「証明」を示しましたが
(4ページ(パターン1,2,3−1,3−2)の
それぞれの証明の流れはほぼ同一です)

これで不備はないでしょうか?
(それともどこかに何か大きな勘違いしてる箇所がある??)
(社会人/質問者)

M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

58369.Re: 整数に関する命題の証明(不備がないか)  
名前:CEGIPO    日付:2018年1月23日(火) 15時46分
/*****************************************/
(パターン3−1)

6 n -sign[n ]=q[n ]r[n ],6 n +sign[n ]=s[n ]
6(n+1) -sign[n+1 ]=q[n+1 ]r[n+1 ],6(n+1) +sign[n ]=s[n+1 ]
...
6(n+k0-1)-sign[n+k0-1]=q[n+k0-1]r[n+k0-1],6(n+k0-1)+sign[n+k0-1]=s[n+k0-1]
6(n+k0 )-sign[n+k0 ]=q[n+k0 ]r[n+k0 ],6(n+k0 )+sign[n+k0] =s[n+k0 ]
6(n+k0+1)-sign[n+k0+1]=q[n+k0+1]r[n+k0+1],6(n+k0+1)+sign[n+k0+1]=s[n+k0+1]
...
6(n+n ) -sign[n+n] =q[n+n ]r[n+n ],6(n+n) +sign[n+n] =s[n+n ]

sign[n]〜sign[n+n]の内一つのみが-1、他は1。(sign[k0]=-1とする)

...[A3]
/****************************************/

とおけたと仮定して矛盾が生じることを示す。
(0≦∃k0≦n)

//////////////////////////

q[n+k+1] > q[n+k], r[n+k+1] > r[n+k] と仮定すると
[A3]の式形よりq[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]はすべて奇数だから
また、[A0]の制約条件により
q[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]≧5だから

q[n+k+1]-q[n+k]≧2, r[n+k+1]-r[n+k]≧2で

あ)0≦k≦k0-2またはk0+1≦k≦nの時

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧5*2+2*5=20 > 6 で不適。

い)k=k0-1の時

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧5*2+2*5=20 > 8 で不適。

う)k=k0の時

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧5*2+2*5=20 > 4 で不適。

/////////////////////////

q[n+k+1] ≧ q[n+k], r[n+k+1] > r[n+k] と仮定すると
[A3]の式形よりq[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]はすべて奇数だから
また、[A0]の制約条件により
q[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]≧5だから

q[n+k+1]-q[n+k]≧0, r[n+k+1]-r[n+k]≧2で

あ)0≦k≦k0-2またはk0+1≦k≦nの時

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧5*2=10 > 6 で不適。

い)k=k0-1の時

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧5*2=10 > 8 で不適。

う)k=k0の時

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧5*2=10 > 4 で不適。
////////////////////////

q[n+k+1] > q[n+k], r[n+k+1] ≧ r[n+k] と仮定すると
[A3]の式形よりq[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]はすべて奇数だから
また、[A0]の制約条件により
q[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]≧5だから

q[n+k+1]-q[n+k]≧2, r[n+k+1]-r[n+k]≧0で

あ)0≦k≦k0-2またはk0+1≦k≦nの時

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧2*5=10 > 6 で不適。

い)k=k0-1の時

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧2*5=10 > 8 で不適。

う)k=k0の時

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧2*5=10 > 4 で不適。

///////////////////////

q[n+k+1] = q[n+k], r[n+k+1] = r[n+k] と仮定すると
q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=0≠6,≠8,≠4で不適。

//////////////////////

したがってパターン3−1が成立するためには

q[n+k+1] < q[n+k] または r[n+k+1] < r[n+k]
でなければならない。

q[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)とおいて題意を失わない。

////////////////////

今、6n-sign[n]=q[n]r[n]で

n≧7であれば(n0は十分に大きな自然数をとるので
これでも問題ない)
n^2-6n+sign[n]=(n-3)^2-9+sign[n]≧6>0
だから6n-sign[n]<n^2
すなわちq[n]r[n]=6n-sign[n]<n^2

よって、q[n],r[n]の少なくとも一方は
q[n]<nかr[n]<nである。

/////////////////////////////////

q[n]≦nと仮定してみる。

すると先ほどq[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1
とおいたのであったから
q[n]≦n
q[n+1]≦n-1
q[n+k+1]≦n-k-1
q[n+n]≦n-n=0で不適。

したがって
q[n]>n,r[n]<nでなければならない。

//////////////////////////////////

今、q[n+k]=n31とおくと
q[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)より

q[n+k]=n31
q[n+k+1]≦n31-1
...
q[n+n]≦n31-(n-k)

よって、q[n+n]≧5より
n31-(n-k)≧5
すなわち
n31≧n+5-k

6(n+k)-sign[n+k]=q[n+k]r[n+k]
だったから
6(n+k)-sign[n+k]=q[n+k]r[n+k]=n31r[n+k]≧(n+5-k)r[n+k]

r[n+k]≦(6n+6k-sign[n+k])/(n+5-k)
=(6n+30-6k+12k-30-sign[n+k])/(n+5-k)
=6+(12k-30-sign[n+k])/(n+5-k)

k≦2の時
r[n+k]≦6+(12k-30-sign[n+k])/(n+5-k)
≦6+(24-30-sign[n+k])/(n+5-k)
=6-(6+sign[n+k])/(n+5-k)
<6

よって、k≦2の時
r[n+k]は必ず5でなければならない。

6 n -sign[n ]=r[n ]q[n ]=5q[n ]
6(n+1)-sign[n+1]=r[n+1]q[n+1]=5q[n+1]
6(n+2)-sign[n+2]=r[n+2]q[n+2]=5q[n+2]

{6(n+1)-sign[n+1]}-{6 n -sign[n ]}=5q[n+1]-5q[n ]=6-(sign[n+1]-sign[n ])
{6(n+2)-sign[n+2]}-{6(n+1)-sign[n+1]}=5q[n+2]-5q[n+1]=6-(sign[n+2]-sign[n+1])

...[A5]

このようなq[n]〜q[n+2]を設定するのは不可能である。
(∵[A5]二式右辺の取り得る値の範囲は6,4,8のいずれかであり
いずれの場合も素因数5を含まない。)

したがってこの場合も不適である。
よって、パターン3−1も成り立たない。
(社会人/質問者)

M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/63.0.3239.132 Safari/537.36

58368.Re: 整数に関する命題の証明(不備がないか)  
名前:CEGIPO    日付:2018年1月23日(火) 15時45分
/*****************************************/
(パターン2)

6 n +1=q[n ]r[n ],6 n -1=s[n ]
6(n+1)+1=q[n+1]r[n+1],6(n+1)-1=s[n+1]
...
6(n+k)+1=q[n+k]r[n+k],6(n+k)-1=s[n+k]
...
6(n+n)+1=q[n+n]r[n+n],6(n+n)-1=s[n+n]

...[A2]
/****************************************/

とおけたと仮定して矛盾が生じることを示す。
(※以下はほぼパターン1)に準じる)

//////////////////////////

q[n+k+1] > q[n+k], r[n+k+1] > r[n+k] と仮定すると
[A2]の式形よりq[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]はすべて奇数だから
また、[A0]の制約条件により
q[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]≧5だから

q[n+k+1]-q[n+k]≧2, r[n+k+1]-r[n+k]≧2で

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧5*2+2*5=20 > 6 で不適。

/////////////////////////

q[n+k+1] ≧ q[n+k], r[n+k+1] > r[n+k] と仮定すると
[A2]の式形よりq[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]はすべて奇数だから
また、[A0]の制約条件により
q[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]≧5だから

q[n+k+1]-q[n+k]≧0, r[n+k+1]-r[n+k]≧2で

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧5*2=10 > 6 で不適。

////////////////////////

q[n+k+1] > q[n+k], r[n+k+1] ≧ r[n+k] と仮定すると
[A2]の式形よりq[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]はすべて奇数だから
また、[A0]の制約条件により
q[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]≧5だから

q[n+k+1]-q[n+k]≧2, r[n+k+1]-r[n+k]≧0で

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧2*5=10 > 6 で不適。

///////////////////////

q[n+k+1] = q[n+k], r[n+k+1] = r[n+k] と仮定すると
q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=0≠6で不適。

//////////////////////

したがってパターン2が成立するためには

q[n+k+1] < q[n+k] または r[n+k+1] < r[n+k]
でなければならない。

上記はk別の考察であるがq[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)
とおいて題意を失わない。

//////////////////
今、6n+1=q[n]r[n]で

n≧7であれば(n0は十分に大きな自然数をとるので
これでも問題ない)
n^2-6n-1=(n-3)^2-10≧6>0
だから6n+1<n^2
すなわちq[n]r[n]=6n+1<n^2

よって、q[n],r[n]の少なくとも一方は
q[n]<nかr[n]<nである。

/////////////////////////////////

q[n]≦nと仮定してみる。

すると先ほどq[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)
とおいたのであったから
q[n]≦n
q[n+1]≦n-1
q[n+k+1]≦n-k-1
q[n+n]≦n-n=0で不適。

したがって
q[n]>n,r[n]<nでなければならない。

//////////////////////////////////

今、q[n+k]=n2とおくと
q[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)より

q[n+k]=n2
q[n+k+1]≦n2-1
...
q[n+n]≦n2-(n-k)

よって、q[n+n]≧5より
n2-(n-k)≧5
すなわち
n2≧n+5-k

今、6(n+k)+1=q[n+k]r[n+k]
だったから
6(n+k)+1=q[n+k]r[n+k]=n2r[n+k]≧(n+5-k)r[n+k]

r[n+k]≦(6n+6k+1)/(n+5-k)
=(6n+30-6k-30+1+12k)/(n+5-k)
=6+(12k-29)/(n+5-k)

k≦2の時
r[n+k]≦6+(12k-29)/(n+5-k)
≦6+(24-29)/(n+5-k)
=6-5/(n+5-k)

よって、k≦2の時
r[n+k]は必ず5でなければならない。

6 n +1=r[n ]q[n ]=5q[n ]
6(n+1)+1=t[n+1]q[n+1]=5q[n+1]
6(n+2)+1=r[n+2]q[n+2]=5q[n+2]

{6(n+1)+1}-{6 n +1}=5q[n+1]-5q[n ]=6
{6(n+2)+1}-{6(n+1)+1}=5q[n+2]-5q[n+1]=6

このようなq[n]〜q[n+2]を設定するのは不可能である。
(6の素因数に5は含まれないから。)

すなわち、パターン2)も成立しない。
(社会人/質問者)

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58367.整数に関する命題の証明(不備がないか)  
名前:CEGIPO    日付:2018年1月24日(水) 17時44分
(自作問題:証明トライ)
長いので複数ページ(4ページ位)に分けて掲載します。
どこかに不備があればご指摘ください。

(※4ページ(パターン1,2,3−1,3−2)の
それぞれの証明の流れはほぼ同一です)

下記大仮定が成立しない事を証明するのが最終目的です。

/*#####################################################*/
(大仮定)

nをある十分に大きな自然数n0より大きな任意の自然数として

{6 n -1,6 n +1}={q[n ]r[n ],s[n ]}
{6(n+1)-1,6(n+1)+1}={q[n+1]r[n+1],s[n+1]}
...
{6(n+k)-1,6(n+k)+1}={q[n+k]r[n+k],s[n+k]}
...
{6(n+n)-1,6(n+n)+1}={q[n+n]r[n+n],s[n+n]}

(自然数q[n+k],r[n+k],s[n+k]≧5(0≦整数k≦n))

...[A0]
/*####################################################*/

とおけたとする。この時、まず、

/*****************************************/
(パターン1)

6 n -1=q[n ]r[n ],6 n +1=s[n ]
6(n+1)-1=q[n+1]r[n+1],6(n+1)+1=s[n+1]
...
6(n+k)-1=q[n+k]r[n+k],6(n+k)+1=s[n+k]
...
6(n+n)-1=q[n+n]r[n+n],6(n+n)+1=s[n+n]

...[A1]
/****************************************/

とおけたと仮定して矛盾が生じることを示す。

//////////////////////////

q[n+k+1] > q[n+k], r[n+k+1] > r[n+k] と仮定すると
[A1]の式形よりq[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]はすべて奇数だから
また、[A0]の制約条件により
q[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]≧5だから

q[n+k+1]-q[n+k]≧2, r[n+k+1]-r[n+k]≧2で

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧5*2+2*5=20 > 6 で不適。

/////////////////////////

q[n+k+1] ≧ q[n+k], r[n+k+1] > r[n+k] と仮定すると
[A1]の式形よりq[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]はすべて奇数だから
また、[A0]の制約条件により
q[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]≧5だから

q[n+k+1]-q[n+k]≧0, r[n+k+1]-r[n+k]≧2で

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧5*2=10 > 6 で不適。

////////////////////////

q[n+k+1] > q[n+k], r[n+k+1] ≧ r[n+k] と仮定すると
[A1]の式形よりq[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]はすべて奇数だから
また、[A0]の制約条件により
q[n+k],q[n+k+1],r[n+k],r[n+k+1]≧5だから

q[n+k+1]-q[n+k]≧2, r[n+k+1]-r[n+k]≧0で

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k+1]r[n+k]+q[n+k+1]r[n+k]-q[n+k]r[n+k]
=q[n+k+1](r[n+k+1]-r[n+k])+(q[n+k+1]-q[n+k])r[n+k]
≧2*5=10 > 6 で不適。

///////////////////////

q[n+k+1] = q[n+k], r[n+k+1] = r[n+k] と仮定すると
q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]
=0≠6で不適。

//////////////////////

したがってパターン1が成立するためには

q[n+k+1] < q[n+k] または r[n+k+1] < r[n+k]
...[X]
でなければならない。

上記はk別の考察であるがq[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)
とおいて題意を失わない。
(ここまでの推論でq[],r[]には[X]の結果以外に特別な区別がない。
したがって、6(n+k)-1の約数q[n+k],r[n+k]は6(n+k)-1=q[n+k]r[n+k]
を満たす範囲で適当にとれるがq[n+k+1]>q[n+k]となっていた場合には
[X]の結果から、その場合、r[n+k+1],r[n+k]とその部分だけ
q,rを読み替えてやってあらたにq[n+k+1]<q[n+k]とすればよいから。
後述のパターン2、パターン3−1、パターン3−2でも同様。)
//////////////////
今、6n-1=q[n]r[n]で

n≧6であれば(n0は十分に大きな自然数をとるので
これでも問題ない)
n^2-6n+1=(n-3)^2-8≧1>0
だから6n-1<n^2
すなわちq[n]r[n]=6n-1<n^2

よって、q[n],r[n]の少なくとも一方は
q[n]<nかr[n]<nである。

/////////////////////////////////

q[n]≦nと仮定してみる。

すると先ほどq[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)
とおいたのであったから
q[n]≦n
q[n+1]≦n-1
q[n+k+1]≦n-k-1
q[n+n]≦n-n=0で不適。

したがって
q[n]>n,r[n]<nでなければならない。

//////////////////////////////////

今、q[n+k]=n1とおくと
q[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)より

q[n+k]=n1
q[n+k+1]≦n1-1
...
q[n+n]≦n1-(n-k)

よって、q[n+n]≧5より
n1-(n-k)≧5
すなわち
n1≧n+5-k

今、6(n+k)-1=q[n+k]r[n+k]
だったから
6(n+k)-1=q[n+k]r[n+k]=n1r[n+k]≧(n+5-k)r[n+k]

r[n+k]≦(6n+6k-1)/(n+5-k)
=(6n+30-6k-30+12k-1)/(n+5-k)
=6+(12k-31)/(n+5-k)

k≦2の時
r[n+k]≦6+(12k-31)/(n+5-k)
≦6+(24-31)/(n+5-k)
=6-7/(n+5-k)

よって、k≦2の時
r[n+k]は必ず5でなければならない。

6 n -1=r[n ]q[n ]=5q[n ]
6(n+1)-1=r[n+1]q[n+1]=5q[n+1]
6(n+2)-1=r[n+2]q[n+2]=5q[n+2]

{6(n+1)-1}-{6 n -1}=5q[n+1]-5q[n ]=6
{6(n+2)-1}-{6(n+1)-1}=5q[n+2]-5q[n+1]=6

このようなq[n]〜q[n+2]を設定するのは不可能である。
(6の素因数に5は含まれないから。)

すなわち、パターン1)は成立しない。
(社会人/質問者)

M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64)
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