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58374.Re: 区分求積法  
名前:X    日付:2018年1月24日(水) 5時11分
(1)
点Q[k]のy座標をy[k]とすると条件から
y[k+1]={1/(1/n+1)}y[k]
y[1]=1
∴y[k]={n/(n+1)}^(k-1) (A)
一方、P[k]のx座標をX[k]とすると
X[k]=k/n (B)
S[k]=(△OP[k]Q[k]の面積)・{(1/n)/(1/n+1)}
=(1/2)X[k]y[k]{1/(n+1)} (C)
(A)(B)(C)により
S[k]=(1/2)(k/n){1/(n+1)}{n/(n+1)}^(k-1)

(2)
問題の無限級数の部分和をT[n]とすると
(1)の結果から
T[n]=Σ[k=1〜n](1/2)(k/n){1/(n+1)}{n/(n+1)}^(k-1)

T[n]-{n/(n+1)}T[n]=Σ[k=1〜n](1/2)(1/n){1/(n+1)}{n/(n+1)}^(k-1)
-(1/2)(n/n){1/(n+1)}{n/(n+1)}^n
これより
{1/(n+1)}T[n]=(1/2)(1/n){1/(n+1)}{1-{n/(n+1)}^n}/{1-n/(n+1)}
-(1/2){1/(n+1)}{n/(n+1)}^n
{1/(n+1)}T[n]=(1/2)(1/n){1-{n/(n+1)}^n}-(1/2){1/(n+1)}{n/(n+1)}^n
T[n]=(1/2)(1/n)(n+1){1-{n/(n+1)}^n}-(1/2){n/(n+1)}^n
よって
m=1/nと置くことにより
lim[n→∞]Σ[k=1〜n]S[k]
=lim[m→+0]{(1/2)m(1/m+1)}{1-{(1/m)/(1/m+1)}^(1/m)}-(1/2){(1/m)/(1/m+1)}^(1/m)}
=lim[m→+0]{(1/2)(1+m)}{1-1/(1+m)^(1/m)}-(1/2)/(1+m)^(1/m)}
=(1/2)(1-1/e)-(1/2)(1/e)
=1/2-1/e
となります。
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58371.区分求積法  
名前:えっさん    日付:2018年1月23日(火) 20時19分
Oを原点とする平面内にn個の点Pk(k/n,0)(k=1,2,…,n)をとる。また、点Q1(0,1)とし、線分PkQk上にQkQk+1:PkQk+1=1/n:1となるように点Qkをとる。△OQkQk+1の面積をSkとする。
(1)Skを求めよ。
(2)lim(n→∞)Σ(n,k=1)Skを求めよ。
お願いします!

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「58371.区分求積法」への返信


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