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58415.Re: 整数補題  
名前:らすかる    日付:2018年1月25日(木) 14時37分
不可能です。
正確にいえば「必ず降順にすることができる」は偽です。
例えば
209=11×19
215=5×43
221=13×17
の3つの例を考えれは不可能であることがわかると思います。

# ただし「絶対に降順にすることはできない」とは(証明しない限り)言えませんね。

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58414.Re: 整数補題  
名前:CEGIPO    日付:2018年1月25日(木) 14時5分
らすかるさん、ありがとうございます。

それでもう一つ質問です。

今の結果
q[n+k+1]<r[n+k]またはr[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)

自分で導いた
q[n+k+1]<q[n+k]またはr[n+k+1]<r[n+k](0≦k≦n-1)

の結果から

6(n+k)-1=q[n+k]r[n+k] (q[n+k],r[n+k]≧5)
の制約だけを条件に自由にq[n+k],r[n+k]
が求められた時

元データではq[n+k+1]>q[n+k]になっているkの箇所が
部分部分にある可能性がありそうですが
その部分は適宜qとrの変数名を読み替えて

あらためてq[n+k+1]<q[n+k](0≦k≦n-1)
(つまりq[n+k]を狭義の降順にする)
と置き直す事は可能でしょうか?
(社会人/質問者)

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58413.Re: 整数補題  
名前:らすかる    日付:2018年1月25日(木) 13時29分
言えると思います。

q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]=6 … (a)
を踏まえて
q[n+k+1]≧r[n+k]かつr[n+k+1]≧q[n+k]
を場合分けして考えると

・q[n+k+1]=r[n+k]かつr[n+k+1]=q[n+k] とすると
 明らかに(a)が成り立たない

・q[n+k+1]>r[n+k]かつr[n+k+1]=q[n+k] とすると
 q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k] = (q[n+k+1]-r[n+k])q[n+k]
 右辺はq[n+k]の倍数だが条件からq[n+k]は奇数なので6にはなり得ず(a)と矛盾

・q[n+k+1]=r[n+k]かつr[n+k+1]>q[n+k] は同上

・q[n+k+1]>r[n+k]かつr[n+k+1]>q[n+k] とすると
 q[n+k+1]≧r[n+k]+1, r[n+k+1]≧q[n+k]+1 なので両辺を掛けて
 q[n+k+1]r[n+k+1]≧q[n+k]r[n+k]+q[n+k]+r[n+k]+1
 ∴q[n+k+1]r[n+k+1]-q[n+k]r[n+k]≧q[n+k]+r[n+k]+1≧11となり(a)と矛盾

よって「q[n+k+1]≧r[n+k]かつr[n+k+1]≧q[n+k]」が成り立つことはないので
「q[n+k+1]<r[n+k]またはr[n+k+1]<q[n+k]」は常に成り立つ。

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58411.整数補題  
名前:CEGIPO    日付:2018年1月25日(木) 12時50分
(発言番号58367から 58370関連(1月24日頃の投稿)からの
切り出し質問です。)

自然数n,k(0≦k≦n)があって
6(n+k)-1=q[n+k]r[n+k]
(但し、q[n+k],r[n+k]は自然数でq[n+k],r[n+k]≧5を満たす)

ようにq[n],r[n]〜q[n+n],r[n+n]がとれたとします。

この時
q[n+k+1]<r[n+k]またはr[n+k+1]<q[n+k]
(0≦k≦n-1)
が必ず成り立つ。。。

という事は果たして言えるでしょうか?
(社会人/質問者)

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