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58600.Re: 【急】 漸化式の問題です!  
名前:かおる    日付:2018年2月10日(土) 21時23分
ありがとうございました!
またよろしくお願いします!
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58594.Re: 【急】 漸化式の問題です!  
名前:IT    日付:2018年2月11日(日) 12時16分
(4) ある素数pがあって,すべての自然数nについてp|(a[n+3]-a[n])とする。

p|(a+1)でないとき,

 a[n+3]-a[n]=(a+1)(a[n+2]-a[n+1])なので,p|(a[n+2]-a[n+1]). (∵pは素数)

 n=1,2 とおくと p|(a[3]-a[2])…@、p|(a[4]-a[3])…A.

 a[4]-a[3]=a(a[3]-a[2])-(a[2]-a[1])…B

 @ABより p|(a[2]-a[1]),
 ここで,a[2]-a[1]=(a-2)(a+1)なので,
 p|(a-2)(a+1).

 p|(a+1)でないと仮定したので p|(a-2). (∵pは素数)

したがって,p|(a+1)またはp|(a-2). 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(注1)p|(a+1) は、(a+1)がpで割り切れることを表します。

(注2) (2)(3)で求めた関係式は下記のような形にしておく方が良かったですね。
(1) より
  a[n+3]=a(a[n+2])-a[n+1] …(ア)
  a[n+2]=a(a[n+1])-a[n] …(イ)
(ア)−(イ)から、
  a[n+3]-a[n+2]=a(a[n+2]-a[n+1])-(a[n+1]-a[n])
移項して、
  a[n+3]-a[n]=(a+1)(a[n+2]-a[n+1])

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58590.Re: 【急】 漸化式の問題です!  
名前:かおる    日付:2018年2月9日(金) 18時2分
ありがとうございました、よく分かりました!

(4)はどのように考えればいいのでしょうか?(2)や(3)とどのように関わってくるのでしょうか?

よろしくお願いいたします。
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58589.Re: 【急】 漸化式の問題です!  
名前:IT    日付:2018年2月9日(金) 16時21分
(2)メイン部分だけ
a(n+2)=a*a(n+1)-a(n) より

a(n+2)-a(n+1)=(a-1)a(n+1)-a(n)
=(a-2)a(n+1)+(a(n+1)-a(n))
なので、数学的帰納法により示せる。

(3)
a(n+3)=a*a(n+2)-a(n+1)=a(a*a(n+1)-a(n))-a(n+1)なので
a(n+3)-a(n)=a(a*a(n+1)-a(n))-a(n+1)-a(n)
=(a^2-1)a(n+1)-(a+1)a(n)
=(a+1)(・・・)
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58581.【急】 漸化式の問題です!  
名前:かおる    日付:2018年2月9日(金) 12時16分
aを3以上の整数とし、xをx+1/x=aをみたす実数として、数列{a(n)}を
a(n)=x^n+1/x^n (n=1,2,…)によって定める。
(1)a(n+2)をa(n+1)とa(n)で表せ。またa(n)は正の整数であることを示せ。(これは出来ました。)
(2)a(n+1)ーa(n)はa−2で割り切れることを示せ。
(3)a(n+3)ーa(n)はa+1で割り切れることを示せ。
(4)すべての自然数nについて、a(n+3)ーa(n)がある素数pで割り切れるとき、a−2またはa+1のいずれかはpで割り切れることを示せ。

どなたか、よろしくお願いいたします。
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