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58683.Re: 整数に関する命題(証明トライ)  
名前:CEGIPO    日付:2018年2月20日(火) 15時17分
自己レスです。

証明に不具合がある事を見つけました。

min(t1)〜max(t2)の範囲内に
x(t1)〜x(t2)が位置を変更すれば重なりなく置けても
それだけではダメで添付ファイルの図解でわかるように
右側の余データの加算も考えないといけないのを
失念していました。

(EXCELファイルの図解よく見ればすぐわかったのですが)

一旦証明を撤回します。
(社会人/質問者)

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58674.Re: 整数に関する命題(証明トライ)  
名前:CEGIPO    日付:2018年2月20日(火) 7時38分
Size: 236KB

Mac環境等でxlsxファイルが読めない方のためにpdfファイルを付します。
(社会人/質問者)

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58672.整数に関する命題(証明トライ)  
名前:CEGIPO    日付:2018年2月19日(月) 21時5分
Size: 14KB

次の証明は果たして合ってるでしょうか?
(簡単過ぎるので多分間違ってると思うのですが...)

q,r,tを自然数(t≧2;q,r<t;t=q+r)とする。

f1(q,r)=6qr-q-r
f2(q,r)=6qr+q-r
f3(q,r)=6qr+q+r

を考える。
(以下、f1,f2,f3をまとめてfxと表わす)

/*====================================*/

t行目の最小値min(t)と最大値max(t)は
(f1,f2,f3を全て考え合わせたもの)

min(t)=5t-6

max(t)=3[t^2/2]+t
すなわち
max(t)=3t^2/2+t (t:偶数の場合)
max(t)=3(t^2-1)/2+t(t:奇数の場合)

これを最初に押さえておく。

(証明:練習問題とし、ここでは省略する。)

/*====================================*/

x(t)はt行目に現れるfx(f1,f2,f3)
の重複を重ねて数えない純要素数。
近似(x(t)<≒2t)はプログラム検証による予想

※ここで、A<≒Bとは、A<Bが必ず成り立つが
Aの値とBの値が極めて近い事を意味するものとする。
(x(t)<2tは後半で証明)

A>≒Bも同様。

/*====================================*/

以下、t1,t2を自然数、3≦t1<t2として

min(t1)〜max(t2)の範囲内に
x(t1)個〜x(t2)個分の要素が
(位置を適当に調整すれば)
重なりなく全て置けるか吟味する。

Σ{x(t1)〜x(t2)}
<≒Σ{2t1〜2t2}
=2Σ{t1〜t2}
=2Σ[i=t1..t2](i)
=2{t2(t2+1)/2-(t1-1)t1/2}
={t2(t2+1)-(t1-1)t1}

【t2偶数の時】

max(t2)-min(t1)+1
=3[t2^2/2]+t2-(5t1-6)+1
=3t2^2/2+t2-5t1+7

3t2^2/2+t2-5t1+7
-Σ{x(t1)〜x(t2)}
>≒
3t2^2/2+t2-5t1+7
-{t2(t2+1)-(t1-1)t1}
=3t2^2/2+t2-5t1+7
-{t2^2+t2-t1^2+t1}
=t2^2/2+t1^2-6t1+7
=t2^2/2+(t1-3)^2-2
≧4^2/2+(3-3)^2-2
=6
≧1
>0

【t2奇数の時】

max(t2)-min(t1)+1
=3[t2^2/2]+t2-(5t1-6)+1
=3(t2^2-1)/2+t2-5t1+7

3(t2^2-1)/2+t2-5t1+7
-Σ{x(t1)〜x(t2)}
>≒
3t2^2/2-3/2+t2-5t1+7
-{t2(t2+1)-(t1-1)t1}
=3t2^2/2-3/2+t2-5t1+7
-{t2^2+t2-t1^2+t1}
=t2^2/2+t1^2-6t1+11/2
=t2^2/2+(t1-3)^2-7/2
≧4^2/2+(3-3)^2-7/2
=9/2
≧1
>0

すなわち、
max(t2)-min(t1)+1≧(Σ{x(t1)〜x(t2)})+1


※修正(追加始)
t1=3の場合を考えて
max(t2)-min(t1)+1≧(Σ{x(t1)〜x(t2)})+t2^2/2-7/2
t2≧4だからt2^2/2-7/2≧8-3.5=4.5≧4
そしてt2^2/2-7/2はt2が大きくなる程無限に大きくなるから
すき間も無限個になる。
※修正(追加終)

よってこの範囲では
(この範囲内で要素位置を適当に移動すれば)
要素が重なりなく全て置け、
かつ、すき間ができるようにできる。

これは全てのfx要素を位置を変えて
まんべんなく重なりなく並べ直した場合なので
値が重複していればなおのことすき間ができるので
要素本来の位置に並べたとしても
fxの存在しない位置、すなわち、双子素数を
生成する位置が無限に存在する。

(∵t1,t2は3≦t1<t2の範囲内でどんなに大きくとってもよい)

後は、x(t)<≒2tを示せばよい。

(x(t)<2tを示すだけで十分である。)

/*====================================*/

今、t行目のみのfx要素を重複を加算して
全て数えた場合の延べ総個数が
3(t-1)個である事がわかっている。

ここからx(t)<2tを導こう。

t≧3として、

t:奇数の場合とt:偶数の場合に分けて考える。

【t:奇数の場合】

f1,f3については3(t-1)は同じ数を全て2回ずつ
数えて3(t-1)個と数えているから実際は

x(t)≦(t-1)+2*{(t-1)/2}=2(t-1)個。

【t:偶数の場合】
f1,f3については3(t-1)では
同じ数を2個ずつ数えているが
最後の1個だけ1つとして数えるから

x(t)≦(t-1)+2*{(t-2)/2+1}=2t-1個。

(x(t)では、f1とf2,f1とf3,f2とf3に重複がある場合は
(tが同じ範囲内でとt1≠t2なるt1,t2における
f1,f2,f3の重複を含めてそれを除いて数えるから
x(t)がさらに小さくなる。

重複を全く含まなかった場合は等号。)

∴x(t)<2t

よって全て(双子素数が無限に存在する事)は証明された。

Q.E.D.

(なんか簡単過ぎますね。また間違えたかな?)

(参考:一覧表f1f2f3.xlsx(EXCELファイル))
(社会人/質問者)

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