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58893.Re: 幾何  
名前:らすかる    日付:2018年3月17日(土) 7時51分
「y=(1/2)xに接する」方を先に考えるともっと簡単に求まりますね。

(1)
Mの上側に原点で接する半径4の円Oの中心は(-4√5/5,8√5/5)
円Oの上側に傾き1の直線が接するとき、
接点QはO+(-2√2,2√2)=(-2√2-4√5/5,2√2+8√5/5)なので
直線の式はy=x+4√2+12√5/5
y=x+4√2+12√5/5とy=(1/2)xの交点はR(-8√2-24√5/5,-4√2-12√5/5)なので
PはQ-R=(6√2+4√5,6√2+4√5)

(2)
中心はO-R=(8√2+4√5,4√2+4√5)

(3)
円Oの下側に傾き1の直線が接するとき、
接点SはO+(2√2,-2√2)=(2√2-4√5/5,-2√2+8√5/5)なので
直線の式はy=x-4√2+12√5/5
y=x-4√2+12√5/5とy=(1/2)xの交点はT(8√2-24√5/5,4√2-12√5/5)なので
直線Lと直線Mの上側に接する半径4の円Uの中心はO-T=(-8√2+4√5,-4√2+4√5)、
直線Lと円Uとの接点VはS-T=(-6√2+4√5,-6√2+4√5)
(Pのx座標)/(Vのx座標)=(6√2+4√5)/(-6√2+4√5)=19+6√10なので
中心と半径を19+6√10倍すれば大円の半径と中心となり、
中心は(19+6√10)U=(-32√2-20√5,44√2+28√5)、半径は4(19+6√10)

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58891.Re: 幾何  
名前:らすかる    日付:2018年3月17日(土) 0時29分
別解を考えてみました。

(1)
Lの右下に原点で接する半径4の円は (x-2√2)^2+(y+2√2)^2=16 … (a)
この円の中心(2√2,-2√2)を通り傾き-2の直線は y=-2x+2√2 … (b)
(a)(b)からyを消去して解くと x=2√2±4√5/5
これを(b)に代入して y=-2√2干8√5/5
よって(a)(b)の交点のうち下の方は (2√2+4√5/5,-2√2-8√5/5)
この点を通る傾き-1/2の直線は y=x/2-3√2-2√5 … (c)
(c)とy=xの交点は (-2(3√2+2√5),-2(3√2+2√5))
よって(a)と(c)を(2(3√2+2√5),2(3√2+2√5))右上に移動すれば
問題の条件に合うので、Pの座標は (2(3√2+2√5),2(3√2+2√5))

(2)
小円の中心は(a)の中心を(2(3√2+2√5),2(3√2+2√5))移動した位置なので
(2√2+2(3√2+2√5),-2√2+2(3√2+2√5))=(4(2√2+√5),4(√2+√5))

(3)
(1)の途中計算から(a)と(b)の交点のうち上の方は(2√2-4√5/5,-2√2+8√5/5) … (d)
この点を通り傾き1の直線はy=x-4√2+12√5/5
この直線とy=(1/2)xとの交点を求めると(8√2-24√5/5,4√2-12√5/5) … (e)
(e)-(d)は(2(3√2-2√5),2(3√2-2√5))なので
(a)の円を(2(3√2-2√5),2(3√2-2√5))動かせば
y=xとy=(1/2)xの両方に右下側で接する半径4の円になる。
このとき中心は(2√2+2(3√2-2√5),-2√2+2(3√2-2√5))=(4(2√2-√5),4(√2-√5))で
y=xとの接点は(2(3√2-2√5),2(3√2-2√5))
よって左上側で2直線に接する半径4の円の中心は(-4(2√2-√5),-4(√2-√5))で、
y=xとの接点は(-2(3√2-2√5),-2(3√2-2√5))
Pの座標は(2(3√2+2√5),2(3√2+2√5))なので
中心の座標と半径を2(3√2+2√5)/{-2(3√2-2√5)}=19+6√10倍すれば
大円の中心と半径が求まる。
よって
(19+6√10){-4(2√2-√5)}=-4(19+6√10)(2√2-√5)=-4(8√2+5√5)
(19+6√10){-4(√2-√5)}=-4(19+6√10)(√2-√5)=4(11√2+7√5)
から大円の中心は(-4(8√2+5√5),4(11√2+7√5))
また、半径は4(19+6√10)

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58885.Re: 幾何  
名前:山旅人    日付:2018年3月16日(金) 16時22分
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中学範囲では,できなくはないかもしれませんが,厳しいのでは? 以下は一例です。

(1)(2) 小円の中心を Q(a,b) とすると,
 Q と L:x−y=0 の距離が 4 より,(a−b)/√2=4 …@
 Q と M:x−2y=0 の距離が 4 より,(−a+2b)/√5=4 …A
@Aを解いて,(a,b)=(4(2√2+√5),4(√2+√5))
接点 P の座標は,Q を通り L に垂直な直線 S:y=−x+4(3√2+2√5) との交点を求めて,P(2(3√2+2√5),2(3√2+2√5))

(3) 大円の中心 R は,L と M がなす大きい方の角の2等分線 T:y=−(√10+1)/3・x 上にあるから,
S と T との交点を求めて R(−4(8√2+5√5),4(11√2+7√5))
大円の半径は,P と R の距離を求めて 4√(721+228√10)
 
(数学愛好者)

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58876.Re: 幾何  
名前:山旅人    日付:2018年3月15日(木) 23時47分
(1) t=2(3√2+2√5)
(2) 小円 半径 4,中心 (4(2√2+√5),4(√2+√5))
(3) 大円 半径 4√(721+228√10),中心 (−4(8√2+5√5),4(11√2+7√5))

図は明日。よく間違うので,ミスは明日訂正します。
 
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58864.幾何  
名前:ぱなと    日付:2018年3月15日(木) 18時31分
2直線 L:y=xと、M:y=(1/2)xの双方に、
L上の点P(t、t)で接してる小さな円が、Lの右下にあり
その半径がr=4である時、
(1)接点Pの座標tを求めて、
(2)小さな円の半径rと中心の座標を求めよ。
(2)点Pで接してる左上の大きな円の半径と中心も求めよ。

どうやら中学数学で解けるらしいのですが、教えてください!!
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