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58932.Re: 三次方程式の最大値と最小値  
名前:五郎丸    日付:2018年3月18日(日) 20時49分
ありがとうございました。
無事理解できました。
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58929.Re: 三次方程式の最大値と最小値  
名前:IT    日付:2018年3月18日(日) 12時41分
>質問1
>前半ですが重解を含んでも良いという事でしょうか?
そうですね、題意をそのように解釈しました。(「異なる」という断り書きがなければ、等しい場合も含むと考えるのが普通だと思います)

>質問2
>異なる解α、β、γがすべて実数となる。この場合は=を除けば良いのでしょうか?
「互いに異なる3つの実数解α、β、γを持つ」ということなら、そのとおりですね。

その場合、|α|+|β|+|γ|は最大値を持ちません。
「最大値なし」というのもりっぱな解答ですが、この問題では「最大値あり」を想定していると考えるのが自然だと思いました。

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58928.Re: 三次方程式の最大値と最小値  
名前:五郎丸    日付:2018年3月18日(日) 11時2分
ありがとうございます。
二つほど質問があります

質問1
前半ですが重解を含んでも良いという事でしょうか?

質問2
異なる解α、β、γがすべて実数となる。この場合は=を除けば良いのでしょうか?
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58924.Re: 三次方程式の最大値と最小値  
名前:IT    日付:2018年3月18日(日) 10時54分
(概略) グラフを描いて考えてください。(y=x^3-4x とy=-a に分離してもいいと思います)
(前半)
f(x)=x^3-4x+aとおく。 
任意の実数aについて 方程式f(x)=0は3重解を持たないので、
f(x)=0の解α、β、γがすべて実数
⇔ f(x)=0の解α、β、γがすべて実数で、3つとも互いに異なるか、ある2つは等しく残りの1つは異なる。
⇔ f(x)=0は異なる2つ以上の実数解を持つ…@

f'(x)=3x^2-4=3(x+2/√3)(x-2/√3) などからf(x)の極大値16/(3√3)+a、極小値-16/(3√3)+a
増減表、グラフを描く。

@であるためには -16/(3√3)≦a≦-16/(3√3)が必要十分条件である。

(後半)
α≦β≦γ とする。
解と係数の関係より,α+β+γ=0…A 
f'(0)=-4なので x=0 でf(x) は単調減少
a≧0のとき、f(0)=a≧0なので α<0≦β≦γ
 よって |α|+|β|+|γ|=-α+β+γ=-2α
a<0のとき、α≦β<0<γ
 よって |α|+|β|+|γ|=-α-β+γ=2γ

グラフを使えばα、γの値の範囲は分かると思います。
y=x^3-4xのグラフが原点対称であることを使えば、a≧0のときだけを考えてもOKです。

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58907.三次方程式の最大値と最小値  
名前:五郎丸    日付:2018年3月17日(土) 14時59分
方程式x^3-4x+a=0の解α、β、γがすべて実数となるような実数aの範囲を求めよ。また、その時の|α|+|β|+|γ|の最大値と最小値を求めよ。
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