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58944.Re: 京大 2004  
名前:Kenji    日付:2018年3月20日(火) 9時6分
b,cの大小関係によって3通りに類別してみました。

(A) b=cであるもの
 1≦a<b=c<d≦n を満たす(a,b,c,d)の数を求めればよい。
1〜nの中から異なる3個を選んで小さい順にa,b=c,dとすればよいから
 nC3=n(n-1)(n-2)/6 個。
(B) b<cであるもの
 1≦a≦b<c≦d≦n を満たす(a,b,c,d)の数を求めればよい。
この条件は 1≦a<b+1<c+1<d+2≦n+2 と同値である。
1〜n+2の中から異なる4個を選んで小さい順にa,b+1,c+1,d+2とすればよいから
 (n+2)C4=(n+2)(n+1)(n)(n-1)/24 個。
(C) c<bであるもの
 1≦a<c<b<d≦n を満たす(a,b,c,d)の数を求めればよい。
1〜nの中から異なる4個を選んで小さい順にa,c,b,dとすればよいから
 nC4=(n)(n-1)(n-2)(n-3)/24 個。
よって総数は
 n(n-1)(n-2)/6+(n+2)(n+1)(n)(n-1)/24+(n)(n-1)(n-2)(n-3)/24
=n^2(n+1)(n-1)/12 個
gw.bwa.jp (158.201.245.201)
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58942.Re: 京大 2004  
名前:IT    日付:2018年3月19日(月) 20時25分
横から失礼します。らすかるさんの解法の方が分かり易いですね。

n個の自然数から2個選ぶのが1パターン、3個選ぶのが3パターン、4個選ぶのが2パターンなので

条件を満たす自然数の組の個数は
C(n,2)+C(n,3)*3+C(n,4)*2 (ここまでで解答の大半が終了、後は単純計算)
=n(n-1)/2!+3n(n-1)(n-2)/3!+2n(n-1)(n-2)(n-3)/4!
=(1/12)n(n-1)(6+6(n-2)+(n-2)(n-3))
=(1/12)(n^2)(n+1)(n-1)

p97236-ipngn200205matsue.shimane.ocn.ne.jp (123.219.45.236)
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58937.Re: 京大 2004  
名前:らすかる    日付:2018年3月18日(日) 22時25分
リンク先の解答は、下に書いた6個のパターンの上4個をまとめて
a≦b<c≦d
下2個をまとめて
a<c≦b<d
として解いていますね。

1≦a≦b<c≦d≦n
を満たす自然数の組は、
A=a, B=b+1, C=c+1, D=d+2, N=n+2
とすると
1≦A<B<C<D≦N
となって NC4=(n+2)C4通り

1≦a<c≦b<d≦n
を満たす自然数の組は、
A=a,B=c,C=b+1,D=d+1,N=n+1
とすると
1≦A<B<C<D≦N
となって NC4=(n+1)C4通り

のように求めています。
この解法が理解できれば、
こちらの方が少し計算量が少なく済みますね。

i121-114-88-254.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.88.254)
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58936.Re: 京大 2004  
名前:サラサラ    日付:2018年3月18日(日) 22時16分
リンク先の回答ってどうなってるのでしょうか
p516241-ipngn200702tokaisakaetozai.aichi.ocn.ne.jp (125.175.177.241)
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58935.Re: 京大 2004  
名前:らすかる    日付:2018年3月18日(日) 22時16分
a=b<c=d
a=b<c<d
a<b<c=d
a<b<c<d
a<b=c<d
a<c<b<d
の6パターンに分けて考えるとよいと思います。

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58933.京大 2004  
名前:サラサラ    日付:2018年3月18日(日) 21時11分
nを自然数とする、次の3つの不等式(1)、(2)、(3)を全て満たす自然数の組(a、b、c、d)はいくつあるか。nを用いて表せ。
(1) 1≦a<d≦n

(2) a≦b<d

(3) a<c≦d

これシグマを使わずに組み合わせで、簡単に解けるらしいのですが教えてください
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14168298219
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「58933.京大 2004」への返信


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