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59053.Re: Twitterからです  
名前:数列    日付:2018年4月6日(金) 22時38分
分かりやすい解説ありがとうございました
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59051.Re: Twitterからです  
名前:らすかる    日付:2018年4月6日(金) 22時15分
f(y)=3^(y/3)とおくと
f ’(y)=log3/3・3^(y/3)なので
f ’(3)=log3>1
f(3)=3でf(y)は下に凸なので
y≧3でf(y)≧y(等号はy=3のとき)
よってy≧3のとき
3^(y/3)≧y
3^y≧y^3
∴3^y+5>y^3
またy=0,1,2のときも代入して計算することで
3^y+5>y^3が成り立つことがわかる。
これより
z^3>3^y+5ならば
z^3>3^y+5>y^3からz>y

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59049.Re: Twitterからです  
名前:数列    日付:2018年4月6日(金) 21時56分
らすかるさん回答ありがとうございます。

「3^y+5<z^3からy<z」の根拠をもう少し詳しく解説して頂きたいです。
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59046.Re: Twitterからです  
名前:らすかる    日付:2018年4月6日(金) 18時50分
x<0またはy<0の場合
2^x+3^y+5が整数にならないので不適

x=0の場合
y=0のとき3^y+6=7、y=1のとき3^y+6=9となり立方数でないので不適。
y≧2のとき3^y+6は3で割り切れ9で割り切れないので立方数にならず不適。
よって解なし。

x>0かつy≧0の場合
左辺は偶数なのでzは偶数
3^y+5<z^3からy<zなのでx<y<zまたはy<x<zまたはy<z<x

x<y<zとなる場合
3^y+5<z^3からy≧8のときz>2yとなりx=2y-zが負になって不適なのでy≦7
x=2y-zからxは偶数
z^3は8で割り切れるが2^2+3^y+5は8で割り切れないのでx=2は不適、よってx≧4
このとき2^xも8で割り切れるので3^y+5も8で割り切れなければならず、yは奇数。
以上の条件を満たす組は(x,y,z)=(4,5,6),(4,7,10),(6,7,8)だが
いずれも2^x+3^y+5=z^3を満たさず不適。

y<x<zとなる場合
y=2x-zからyは偶数
x≧3のとき2^xは8で割り切れz^3も8で割り切れるので3^y+5も
8で割り切れなければならず、yは奇数となるがこれは不適、よってx≦2。
このとき候補は(x,y,z)=(1,0,2),(2,0,4)の2組で、
このうち(x,y,z)=(1,0,2)だけ2^x+3^y+5=z^3を満たす。

y<z<xとなる場合
2^x+6<z^3かつzが偶数でx>zとなるのは(x,y,z)=(5,3,4),(7,5,6)の2組で、
このうち(x,y,z)=(5,3,4)だけ2^x+3^y+5=z^3を満たす。

以上により、解は(x,y,z)=(1,0,2),(5,3,4)の2組。

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59045.Twitterからです  
名前:数列    日付:2018年4月6日(金) 16時33分
整数x,y,zは等式 2^x+3^y+5=z³ を満たし,上手く並び替えると等差数列を成す.このような(x,y,z)の組をすべて求めよ.
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