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59150.Re: 素数小問題2  
名前:CEGIPO    日付:2018年4月24日(火) 15時4分
WIZさん回答ありがとうございます。
確かに2箇所符号が間違っておりました。
ご指摘ありがとうございます。
(4/24修正で修正しました)

で、WIZさんが提示されたような
一般化ができるわけですね!

なるほど。(快哉です)。
(社会人/質問者)

M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/65.0.3325.181 Safari/537.36

59143.Re: 素数小問題2  
名前:WIZ    日付:2018年4月23日(月) 19時59分
証明の是非を評価をしてもらいたい旨の質問と解釈して反応します。

証明そのものはほぼOKだと思いますが、一部不備があるので指摘します。
> q1=(6k+1)j+kの時(j:自然数)
> 6q1-1=6{(6k+1)j+k}+1=(6k+1)(6j+1)

上記は
6q1+1 = 6{(6k+1)j+k}+1 = (6k+1)(6j+1)
の書き間違いでしょうか?

> q1=(6k+1)j+5k+1の時(j:非負整数)
> 6q1+1=6{(6k+1)j+5k+1}-1=(6k+1)(6j+5)

上記は
6q1-1 = 6{(6k+1)j+5k+1}-1 = (6k+1)(6j+5)
の書き間違いでしょうか?


以下余談ですが、6q±1に拘らなくても、mを任意の自然数として、

q = (mk-1)j+kの時(j:自然数)、mq-1 = m{(mk-1)j+k}-1 = (mk-1)(mj+1)
q = (mk-1)j+(m-1)k-1の時(j:非負整数)、mq+1 = m{(mk-1)j+(m-1)k-1}+1 = (mk-1)(mj+(m-1))
q = (mk+1)j+kの時(j:自然数)、mq+1 = m{(mk+1)j+k}+1 = (mk+1)(mj+1)
q = (mk+1)j+(m-1)k+1の時(j:非負整数)、mq-1 = m{(mk+1)j+(m-1)k+1}-1 = (mk+1)(mj+(m-1))

なので、スレ主さんの命題は、

q, m, kを自然数とする時、(mq-1, mq+1)が双子素数になるならば、
q ≧ k+1となるqについて
qをmk-1で割った余りはk, (m-1)k-1にはならない
qをmk+1で割った余りはk, (m-1)k+1にはならない

と、もっと一般化できるわけですね!
080040014222.ppp-oct.au-hikari.ne.jp (222.14.40.80)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.0) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/49.0.2623.112 Safari/537.36

59130.素数小問題2  
名前:CEGIPO    日付:2018年4月24日(火) 15時1分
#59125の類似問題です。(自作問題)

命題:

q,kを自然数とする時
(6q-1,6q+1)が双子素数になるならば

q≧1+1なるqについて
qを6・1-1=5で割った余りは1,5・1-1=4にはならない
qを6・1+1=7で割った余りは1,5・1+1=6にはならない

q≧2+1なるqについて
qを6・2-1=11で割った余りは2,5・2-1=9にはならない
qを6・2+1=13で割った余りは2,5・2+1=11にはならない

...

一般化して

q≧k+1なるqについて
qを6k-1で割った余りはk,5k-1にはならない
qを6k+1で割った余りはk,5k+1にはならない

[証明]今度は自力で証明を試みました

q1=(6k-1)j+kの時(j:自然数)
6q1-1=6{(6k-1)j+k}-1=(6k-1)(6j+1)

q1=(6k-1)j+5k-1の時(j:非負整数)
6q1+1=6{(6k-1)j+5k-1}+1=(6k-1)(6j+5)

q1=(6k+1)j+kの時(j:自然数)
6q1+1=6{(6k+1)j+k}+1=(6k+1)(6j+1)
(4/24修正)

q1=(6k+1)j+5k+1の時(j:非負整数)
6q1-1=6{(6k+1)j+5k+1}-1=(6k+1)(6j+5)
(4/24修正)

で6q1-1,6q1+1がそれぞれ合成数になるから
(6q1-1,6q1+1)
が双子素数にならない。

Q.E.D.

こんな感じでしょうか?
(社会人/質問者)

M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64)
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