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59163.Re: よろしくお願いいたします。  
名前:X    日付:2018年5月4日(金) 22時50分
(1)
f(x)=x+log{1+e^(-2x)}
∴lim[x→∞]{f(x)-x}=0

f(x)=-x+log{1+e^(2x)}
と変形できるので
lim[x→-∞]{f(x)-(-x)}=0
以上から曲線Cの漸近線の方程式は
y=x,y=-x
ですがlの傾きは正なので、lの方程式は
y=x

(2)
g(x)=log(1+1/x)-2/(2x+1)
と置くと
g'(x)=1/(x+1)-1/x+4/(2x+1)^2
={x(2x+1)^2-(x+1)(2x+1)^2+4(x+1)x}/{x(x+1)(2x+1)^2}
={-(2x+1)^2+4(x+1)x}/{x(x+1)(2x+1)^2}
=-1/{x(x+1)(2x+1)^2}
∴x>0においてg'(x)<0ですので
g(x)は単調減少
∴g(x)>lim[x→∞]g(x)=0

h(x)=1/√{x(x+1)}-log(1+1/x)
と置くと
h'(x)={-(2x+1)/{2√{x(x+1)}}}/{x(x+1)}-1/x+1/(x+1)
=-(2x+1)/{2{x(x+1)}^(3/2)}-1/x+1/(x+1)
=-(2x+1)/{2{x(x+1)}^(3/2)}-1/{x(x+1)}
∴x>0においてh'(x)<0ゆえ
h(x)は単調減少
∴h(x)>lim[x→∞]h(x)=0
以上から証明すべき不等式は成立します。
(もっと簡単な方針があるかもしれません)

(3)
e^x=tanθ
より
(e^x)dx=dθ/(cosθ)^2
∴dx=dθ/{tanθ(cosθ)^2}
=dθ/(sinθcosθ)
一方
e^p=tanα
(0<α<π/2)
なるαを考えると
p→∞のときα→π/2
∴(与式)=lim[α→π/2]∫[π/4→α]{(cosθ)/(tanθsinθcosθ)}dθ
=lim[α→π/2]∫[π/4→α]{(cosθ)/(sinθ)^2}dθ
=lim[α→π/2][-1/sinθ][π/4→α]
=lim[α→π/2](√2-1/sinα)
=√2-1

(4)
(1)の結果と条件から
S(t)=∫[0→t]{f(x)-x}dx
=∫[0→t]{log{e^x+e^(-x)}-x}dx
=∫[0→t]log{1+1/e^(2x)}dx
ここでe^x>0に注意すると、(2)の結果を
S(t)の被積分関数に適用でき
2∫[0→t]dx/{2e^(2x)+1}<S(t)<∫[0→t]dx/{(e^x)√{1+e^(2x)}} (P)
更にe^(2x)=uと置くことにより
2∫[0→t]dx/{2e^(2x)+1}=∫[1→e^(2t)]du/{u(2u+1)}
=∫[1→e^(2t)]{1/u-2/(2u+1)}du
=[logu-log(2u+1)][1→e^(2t)]
=log{(e^(2t))/{2e^(2t)+1}}+log3
=log{3/{2+e^(-2t)}}
となるので(P)は
log{3/{2+e^(-2t)}<S(t)<∫[0→t]dx/{(e^x)√{1+e^(2x)}}
∴lim[t→∞]log{3/{2+e^(-2t)}}<S<lim[t→∞]∫[0→t]dx/{(e^x)√{1+e^(2x)}}
右辺に(3)の結果を使い
log(3/2)<S<√2-1


難易度は中堅の国公立大学の二次試験の問題位でしょうか。
(かなり細かい誘導形式なので応用問題としては少し難しい程度の
難易度だと思います。)
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59159.よろしくお願いいたします。  
名前:Agaiinsts    日付:2018年5月4日(金) 16時14分
Original Size: 1889 x 1195, 264KB

この問題を教えてください。
また、難易度ってどれくらいなのでしょう。
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「59159.よろしくお願いいたします。」への返信


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