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59174.Re: 極限  
名前:らすかる    日付:2018年5月6日(日) 14時51分
二項展開から
√(k+n^2)=n+k/(2n)-k^2/(8n^3)+k^3/(16n^5)-…なので
n+k/(2n)-k^2/(8n^3)<√(k+n^2)<n+k/(2n)-k^2/(8n^3)+k^3/(16n^5)
よって
k/(2n)-k/(2n+1)-k^2/(8n^3)
<√(k+n^2)-k/(2n+1)-n
<k/(2n)-k/(2n+1)-k^2/(8n^3)+k^3/(16n^5)
なので
(4n^2-6n-1)/(24n^2)=Σ[k=0〜2n]k/(2n)-k/(2n+1)-k^2/(8n^3)
<Σ[k=0〜2n]√(k+n^2)-k/(2n+1)-n
<Σ[k=0〜2n]k/(2n)-k/(2n+1)-k^2/(8n^3)+k^3/(16n^5)
=(8n^3+10n+3)/(48n^3)
従って
1/6=lim[n→∞](4n^2-6n-1)/(24n^2)
≦lim[n→∞]Σ[k=0〜2n]√(k+n^2)-k/(2n+1)-n
≦lim[n→∞](8n^3+10n+3)/(48n^3)
=1/6
なので
lim[n→∞]Σ[k=0〜2n]√(k+n^2)-k/(2n+1)-n=1/6

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59173.極限  
名前:悠里    日付:2018年5月6日(日) 4時46分
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