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59303.Re: 数学的帰納法 証明  
名前:らすかる    日付:2018年5月23日(水) 11時59分
rCr + r+1Cr + r+2Cr+・・・+ nCr = n+1Cr+1 と書くと
{rCr} + {r} + {1Cr} + {r} + {2Cr} +・・・+ {nCr} = {n} +{1Cr} + {1}
のように解釈されてしまいますので
rCr+(r+1)Cr+(r+2)Cr+・・・+ nCr = (n+1)C(r+1) のように書きましょう。

問題から0≦r≦n
n=0のとき、r=0なので左辺は0C0=1、右辺は1C1=1となり成り立つ。
n=k、0≦r≦kのとき成り立つとすると
Σ[i=r〜k]iCr=(k+1)C(r+1)
Σ[i=r〜k+1]iCr=(k+1)C(r+1)+(k+1)Cr
=(k+1)!/{(r+1)!(k-r)!}+(k+1)!/{r!(k-r+1)!}
=(k-r+1)(k+1)!/{(r+1)!(k-r+1)!}+(r+1)(k+1)!/{(r+1)!(k-r+1)!}
={(k-r+1)+(r+1)}(k+1)!/{(r+1)!(k-r+1)!}
=(k+2)(k+1)!/{(r+1)!(k-r+1)!}
=(k+2)!/{(r+1)!(k-r+1)!}
=(k+2)C(r+1)
(ここは公式nCr+nC(r+1)=(n+1)C(r+1)から(k+1)C(r+1)+(k+1)Cr=(k+2)C(r+1)としてもOK)
なのでn=k+1,0≦r≦kのときも成り立つ。
またn=k+1,r=k+1のときは
(左辺)=(k+1)C(k+1)=1、(右辺)=(k+2)C(k+2)=1となり成り立つので、
n=k+1,0≦r≦k+1で成り立つ。
よって数学的帰納法により任意のnに対して成り立つ。

pl22290.ag0506.nttpc.ne.jp (124.154.44.18)
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59298.数学的帰納法 証明  
名前:Bik    日付:2018年5月22日(火) 23時7分
次の等式をn(と任意に固定されたr)に関する帰納法で証明せよ
rCr + r+1Cr + r+2Cr+・・・+ nCr = n+1Cr+1
(高校 3 年/質問者)

sp49-97-111-151.msc.spmode.ne.jp (49.97.111.151)
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「59298.数学的帰納法 証明」への返信


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