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59320.Re: 数学  
名前:X    日付:2018年5月24日(木) 5時42分
ごめんなさい。その通りですね。
No.59307を直接修正しましたので再度ご覧下さい。
softbank126161151182.bbtec.net (126.161.151.182)
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59312.Re: 数学  
名前:サイモン    日付:2018年5月23日(水) 22時21分
回答ありがとうございます!!

質問なんですが
BQ^2のところのθはθ+π/2ではないのですか?
fp276fff9b.chbd105.ap.nuro.jp (39.111.255.155)
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59308.Re: 数学  
名前:X    日付:2018年5月23日(水) 19時18分
4
まずは前準備。
条件から
|↑a|=|↑e|=1 (A)
↑a・↑e=cos(2π/3)=-1/2 (B)

(1)
条件から
↑AB、(↑a+↑e)/2
は同じ向きですので
↑AB=k(↑a+↑e)/2 (C)
(k>0)
と置くことができます。
ここで条件から
|↑AB|=AB=1
∴(C)から
|k(↑a+↑e)/2|^2=1
これより
(k^2){|↑a|^2+2↑a・↑e+|↑e|^2}=4
これに(A)(B)を代入すると
k^2=4
∴k=2
よって(C)により
↑AB=↑a+↑e
となりますので
↑OF=↑OA+(1/3)↑AB
=↑a+(1/3)(↑a+↑e)
=(4/3)↑a+(1/3)↑e

(2)(3)は方針だけ。

(2)
条件から点Hは線分EF上の点ですので
↑OH=(1-l)↑OE+l↑OF
(0≦l≦1)
と置くことができます。
これに(1)の結果などを代入すると
↑OH=(1-l){(4/3)↑a+(1/3)↑e}+l↑e
=(4/3)(1-l)↑a+(1/3)(1+2l)↑e (D)
一方
↑EF=↑OF-↑OE=(4/3)↑a+(1/3)↑e-↑e
=(4/3)↑a-(2/3)↑e (E)
ここで条件から
↑OH⊥↑EF
∴↑OH・↑EF=0 (F)
(F)に(D)(E)を代入して左辺を展開し、
更に(A)(B)を代入してlの方程式を導きます。

(3)
条件から
↑OP=↑OB+↑BP
=↑OA+↑AB+↑BP
これに(1)の過程などを使うと
↑OP=↑a+(↑a+↑e)+m↑e
(m>0)
と置くことができます。
これを整理して
↑OP=2↑a+(m+1)↑e (G)
さて、点Pから直線OHに下ろした垂線の足をQとすると
題意を満たすためには
↑PQ=↑EH (H)
とならなければなりません。
ここで
↑OQ=n↑OH (I)
(n>0)
と置くことができ、又
↑OQ=↑OP+↑PQ (J)
(G)(H)(I)を(J)に代入して
n↑OH=2↑a+(m+1)↑e+↑EH
これより
n↑OH=2↑a+(m+1)↑e+↑OH-↑e
(n-1)↑OH=2↑a+m↑e (J)'
(J)'に(2)の結果を代入したものを
(J)"とします。
ここで条件から
↑a//↑eではなく、かつ↑a≠↑Oかつ↑e≠↑O
ですので(J)"の両辺の↑a,↑eを比較することができます。
このことからm,nについての連立方程式を導きます。
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59307.Re: 数学  
名前:X    日付:2018年5月24日(木) 5時41分
3
(2)
(1)の結果から
AP^2=(cosθ+1)^2+(sinθ)^2
=2+2cosθ
BQ^2=a(cos(θ+π/2)-1)^2+a(sin(θ+π/2))^2
=a(sinθ+1)^2+a(cosθ)^2
=2a(1+sinθ)
∴AP^2+BQ^2=f(θ)
と置くと
f(θ)=2a+2+2asinθ+2cosθ
=2a+2+{2√(a^2+1)}sin(θ+α)
(但しαは
0<α<π/2,tanα=1/a
なる角)
ここで
0≦θ≦π/2
により
α≦θ+α≦π/2+α
に注意すると
M=2a+2+2√(a^2+1) (A)
(i)0<α<π/4、つまり1<aのとき
m=f(0)=2a+4 (B)
(A)(B)を
M-m=1に代入して
2√(a^2+1)-2=1
これより
√(a^2+1)=3/2
a^2=5/4
∴a=(√5)/2

(ii)π/4≦α<π/2、つまり0<a≦1のとき
m=f(π/2)=4a+2 (C)
(A)(C)を
M-m=1に代入して
2√(a^2+1)-2a=1
これより
2√(a^2+1)=2a+1
4(a^2+1)=(2a+1)^2
∴a=3/4

以上から求めるaの値は
a=3/4,(√5)/2
となります。
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59306.数学  
名前:サイモン    日付:2018年5月23日(水) 18時34分
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大問3の( 2 )と、大問4がわかりません!!!!
(高校 3 年/質問者)
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