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59613.Re: 積分計算の証明  
名前:数学生    日付:2018年7月23日(月) 6時36分

∫√(x^2+a)dx=1/2{x√(x^2+a)+alog|x+√(x^2+a)}+C
両辺を微分して、
2・d/dx{∫√(x^2+a)dx} = √(x^2+a) + x^2/√(x^2+a) + {a+ax/√(x^2+a)}/{x+√(x^2+a)}
= {(2x^2+a){x+√(x^2+a)} + a√(x^2+a) + ax}/[√(x^2+a){x+√(x^2+a)}]
= {2x^3 + 2x^2√(x^2+a) + 2a√(x^2+a) + 2ax}/[√(x^2+a){x+√(x^2+a)}]
ここで、√(x^2+a){x+√(x^2+a)} = cとおく。
x^3 + x^2√(x^2+a) + a√(x^2+a) + ax = c√(x^2+a)を示す。

c√(x^2+a) = {x+√(x^2+a)}(x^2+a) = x^3 + x^2√(x^2+a) + ax + a√(x^2+a)より一致。
すなわち、2・d/dx{∫√(x^2+a)dx} = 2・√(x^2+a)
であるから、∫√(x^2+a)dx = 1/2{x√(x^2+a)+alog|x+√(x^2+a)}+C
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59546.Re: 積分計算の証明  
名前:X    日付:2018年7月11日(水) 18時46分
∫√(x^2+a)dx=x√(x^2+a)-∫{(x^2)/√(x^2+a)}dx
=x√(x^2+a)-∫√(x^2+a)dx+a∫dx/√(x^2+a)
において
I=∫√(x^2+a)dx
とすると
I=x√(x^2+a)-I+a∫dx/√(x^2+a)
これをIについて解きます。
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59543.Re: 積分計算の証明  
名前:mana    日付:2018年7月10日(火) 22時44分
すみません。もうひとつ質問です
(1/2)x√(x^2+a)+(a/2)∫dx/√(x^2+a)
ここの変形(特になぜ1/2が出てきたか)が分かりません。
(大学 1 年/質問者)
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59539.Re: 積分計算の証明  
名前:mana    日付:2018年7月10日(火) 22時28分
分かりやすくありがとうございます
(大学 1 年/質問者)
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59538.Re: 積分計算の証明  
名前:X    日付:2018年7月10日(火) 21時59分
t=x+√(x^2+a)
と置くと
dt=(1+x/√(x^2+a))dx
dt=(t/√(x^2+a))dx
dt/t=dx/√(x^2+a)

ここで部分積分により
∫√(x^2+a)dx=x√(x^2+a)-∫{(x^2)/√(x^2+a)}dx
=x√(x^2+a)-∫√(x^2+a)dx+a∫dx/√(x^2+a)
∴∫√(x^2+a)dx=(1/2)x√(x^2+a)+(a/2)∫dx/√(x^2+a)
=(1/2)x√(x^2+a)+(a/2)∫dt/t
=(1/2)x√(x^2+a)+(a/2)log|t|+C
=(1/2)x√(x^2+a)+(a/2)log|x+√(x^2+a)|+C
(Cは積分定数)
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59537.積分計算の証明  
名前:mana    日付:2018年7月10日(火) 21時18分
∫√(x^2+a)dx=1/2{x√(x^2+a)+alog|x+√(x^2+a)}+C(Cは積分定数)が成り立つことを証明しろ
という問題の解き方を教えてください。t=x+√(x^2+a)と置くのかなと考えましたが、そこからの展開が分かりません。よろしくお願いします。
(大学 1 年/質問者)
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