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59630.Re: パスカルの三角形に含まれるフィボナッチ数列の公式について  
名前:kiyo    日付:2018年7月26日(木) 4時10分
なるほど.二項係数の公式使うんですね.
しかし早く大学で冪級数展開やらを使ってダイレクトに証明したい..
別質問に応用問題が貼ってあるので良ければそちらもご一考お願いします.
(高校 3 年/質問者)

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59624.Re: パスカルの三角形に含まれるフィボナッチ数列の公式について  
名前:らすかる    日付:2018年7月26日(木) 6時16分
F[1]=0C0=1
F[2]=1C0=1
nCr=(n-1)C(r-1)+(n-1)Crを利用
nが偶数のとき
F[n+1]=nC0+(n-1)C1+(n-2)C2+…+(n/2+1)C(n/2-1)+(n/2)C(n/2)
=1+{(n-2)C0+(n-2)C1}+{(n-3)C1+(n-3)C2}+…
 +{(n/2)C(n/2-2)+(n/2)C(n/2-1)}+1
=(n-1)C0+{(n-2)C0+(n-2)C1}+{(n-3)C1+(n-3)C2}+…
 +{(n/2)C(n/2-2)+(n/2)C(n/2-1)}+(n/2-1)C(n/2-1)
={(n-1)C0+(n-2)C1+(n-3)C2+…+(n/2)C(n/2-1)}
 +{(n-2)C0+(n-3)C1+…+(n/2)C(n/2-2)+(n/2-1)C(n/2-1)}
=F[n]+F[n-1]
nが奇数のとき
F[n+1]=nC0+(n-1)C1+(n-2)C2+…+((n+1)/2)C((n-1)/2)
=1+{(n-2)C0+(n-2)C1}+{(n-3)C1+(n-3)C2}+…
 +{((n-1)/2)C((n-3)/2)+((n-1)/2)C((n-1)/2)}
=(n-1)C0+{(n-2)C0+(n-2)C1}+{(n-3)C1+(n-3)C2}+…
 +{((n-1)/2)C((n-3)/2)+((n-1)/2)C((n-1)/2)}
={(n-1)C0+(n-2)C1+(n-3)C2+…+((n-1)/2)C((n-1)/2)}
 +{(n-2)C0+(n-3)C1+…+((n-1)/2)C((n-3)/2)}
=F[n]+F[n-1]
∴F[n]はフィボナッチ数

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59623.パスカルの三角形に含まれるフィボナッチ数列の公式について  
名前:kiyo    日付:2018年7月25日(水) 16時40分
Original Size: 1659 x 676, 59KB

この公式は高校数学で証明できますか?
できたら教えてください.
(高校 3 年)

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