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60141.Re: 数列について。  
名前:noname    日付:2018年9月14日(金) 20時16分
面白い問題ですね。
まず(1)について、
実際にa_1,a_2,a_3を書いてみると、
a_1=x+y,a_2=x^2+y^2,a_3=x^3+y^3で,
対称式の問題っぽいことがわかります。
a_3=x^3+y^3
=(x+y)(x^2-xy+y^2)
=a_1*(a_2-xy)
=a_1*(-4-xy)
a_3=3m+1(mは整数)と表すと、
-a_1*(4+xy)=3m+1…@
xyを消したいので、関係式を探します。
a_2=(x+y)^2-2xy=-4
(a_1)^2-2xy=-4
2xy=(a_1)^2+4
@の両辺を2倍して、
-a_1*(8+2xy)=6m+2
-a_1*{8+(a_1)^2+4}=6m+2
-a_1*{12+(a_1)^2}=6m+2
-12a_1-(a_1)^3=6m+2
-(a_1)^3=6(m+2a_1)+2
(a_1)^3=6(-m-2a_1)-2
(a_1)^3=6(-m-2a_1)-6+6-2
(a_1)^3=6(-m-2a_1-1)+4
a_1は整数なので、-m-2a_1-1は整数で、(a_1)^3は6で割って4余る数と分かります。ここまでの変形は、合同式を知っていればもっと簡単に書けます。

さて、どんな整数も、6で割った余りは0,1,2,3,4,5のいずれかになります。
a_1もそのどれかなので、それぞれ3乗して6で割ってみて余りが4になるかどうか調べればよいです。
もし、オイラーの定理およびRSA暗号の原理を知っていれば、6=2*3で、(2-1)*(3-1)+1=3なので、(a_1)^3≡a_1(mod6)に気づくと思います。

(2)は、(1)と同様に対称式の問題と考えればよいです。
x^(n+1)+y^(n+1)に(x+y)をかければ、x^(n+2)やy^(n+2)を含む式ができるので、a_(n+2)やa_nを用いて置き換えていけばできます。
a_(n+2)+2a_(n+1)+4a_n=0が導けたら、あとは隣接三項間漸化式の解き方で,
a_n=(-1-√3i)^n+(-1+√3i)^nまでもっていけるでしょう。
問題文に「nが3の倍数」という言葉がありますし、式を書いているうちに気付くと思いますが、ここであえて分母を2にして1の3乗根を登場させましょう。
a_n=2^n{(-1-√3i)/2}^n+2^n{(-1+√3i)/2}
(-1+√3i)/2=ωとおくと,
a_n=2^n{(ω^2)^n+ω^n}
と表せます。
ω^3=1なので,
nが3の倍数の時は,a_n=2^n(1+1)=2^(n+1)
それ以外の時は,ω^2+ω=-1から,a_n=-2^nと分かります。
後半端折りましたが,必要であれば途中式を書きます。
ab026148.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (183.76.26.148)
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59910.数列について。  
名前:コルム    日付:2018年8月27日(月) 11時37分
次の問題が分かりません。詳しく教えていただけると幸いです。
定数x,yに対して,an=x^n+y^nで定義される数列{an}(n=1,2,…)がある.a1,a2,a3は整数で
(i)a2=-4 (ii)a3は3で割って1余る をみたすとき,次の各問いに答えよ.
(1)a1は6で割って4余る整数であることを示せ.
(2)a1=-2のとき,a(n+2),a(n+1),anのみたす関係式を求めよ.また,このとき
an=2^(n+1)(nが3の倍数のとき)またはan=-2^n(nが3の倍数でないとき)と表されることを示せ.
大変恐縮ですが。
前回のは、分かりにくい解説でしたので、なるべくかみ砕いた解説をお願いいたします。
(大学受験生/質問者)

p223102-ipngn200303takamatu.kagawa.ocn.ne.jp (153.186.17.102)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/64.0.3282.140 Safari/537.36 Edge/17.17134


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