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59998.Re: 三角関数の有理数  
名前:らすかる    日付:2018年9月2日(日) 1時56分
大筋は「yがz^2=y^4-x^4が成り立つ最小値と仮定すると、それより小さい値が存在して矛盾」ですが、それ以上詳しくは読んでいません。
(私は英語が苦手なので読む気力はありません)

↓こちらのサイトで
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/STUDENT/KENKYU2003/okamoto.pdf
x^4+y^4=u^2を満たす非自明整数解が存在しないことを証明していますが、似たような方法ではないかと思います。
(一番外側の大筋しか見ていませんので、本当に似た方法かどうかはわかりません)

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59997.Re: 三角関数の有理数  
名前:Singular    日付:2018年9月2日(日) 1時2分
ありがとうございます、でもよくわからないので日本語で大筋だけでもいいですから書いてもらいませんか?
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59996.Re: 三角関数の有理数  
名前:らすかる    日付:2018年9月2日(日) 0時2分
a^4-b^4=c^2の非自明解が存在しないことは↓こちらで証明されています。
https://math.stackexchange.com/questions/153546/solving-x4-y4-z2

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59995.Re: 三角関数の有理数  
名前:Singular    日付:2018年9月1日(土) 20時50分
申し訳ない、ℝじゃなくねQですねはい。
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59993.Re: 三角関数の有理数  
名前:Singular    日付:2018年9月1日(土) 20時40分
0<θ<π/2で一般性を失わない.

此の時, 直角三角形によるsinθ,cosθの定義を考えて, 辺の長さが全て整数である直角三角形から有理数となるsinθ,cosθが作れる.
ピタゴラス数の性質から, a²+b²=c²なる整数組(a,b,c)は適当なm,n∈ℤ を用いて
(a,b,c)=(m²-n², 2mn, m²+n²)と表される.
則ちsinθ=(m²-n²)/(m²+n²), cosθ=2mn/(m²+n²)である.

sin2θ=2sinθcosθ=4mn(m²-n²)/(m²+n²)²
であり, 平方でない部分を考えて,
mn(m²−n²)が平方数であれば良い.

mとnが互いに素でない場合は, 最大公約数で割ったときのsinθ, cosθの値は等しいので, mとnが互いに素である場合を考える.
mnとm²-n²=(m+n)(m−n)は互いに素であるため, mnとm²-n²のどちらも平方数であることが要請される.
又, mとnは互いに素よりmとnも其々平方数でなければならず, m²-n²が平方数となる平方数m,nが存在すれば良い.
これは∃a,b,c∈ℕ; a⁴-b⁴=c²が真なることと同値.

ここからは未知です、存在するのかもしれません。
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59992.Re: 三角関数の有理数  
名前:Singular    日付:2018年9月1日(土) 19時30分
すいません、全て有理数となるようなθを非自明なもので求めよというものです
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59990.三角関数の有理数  
名前:Singular    日付:2018年9月1日(土) 19時13分
∃θ; sinθ∈ℝ∧cosθ∈ℝ∧√sin2θ∈ℝ
の真偽を示せ。ただしθ=0などの自明なものは考えない。
これを教えてください。
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