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60040.Re: 数II微積分 面積比問題への考察  
名前:kiyo    日付:2018年9月5日(水) 8時13分
お二方ありがとうございました。
余白の面積の最小からもゆくのですね、勉強になります
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60019.Re: 数II微積分 面積比問題への考察  
名前:らすかる    日付:2018年9月3日(月) 21時59分
放物線y=ax^2+bx+cと直線が2点P,Qで交わり
Pのx座標がp、Qのx座標がq(p<q)であるとして
放物線上にx座標がr(p<r<q)である点Rをとるとき
PR,RQと放物線で挟まれた部分の面積は
(|a|/6){(r-p)^3+(q-r)^3}
=(|a|/6)(q-p){3(r-(q+p)/2)^2+(q-p)^2/4}
なのでr=(q+p)/2すなわちP,R,Qのx座標が等間隔のときに最小となる。
よって本問の場合も
放物線上に2点M,Nをとって四角形ABNMの面積が最大となるのは
放物線とAM,MN,NBで挟まれた領域の面積が最小となるときなので
A,M,N,Bのx座標が等間隔のときとなり、
四角形ABNMの面積が最大となるとき四角形ABNMは台形。

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60016.Re: 数II微積分 面積比問題への考察  
名前:ヨッシー    日付:2018年9月3日(月) 14時3分
一般の、というと途方も無いので、A、Bは固定としました。
また、最後まで解いていませんので、解き切れるかも分かりません。

y=−x^2+(α+β)x−αβ (α<β) ・・・(i)
軸は x=(α+β)/2
頂点を S とし、(i) 上のA−S間にx座標t(α<t≦(α+β)/2)である点Mをとり、
点Nを、四角形ABNMが最大になるようにとることを考える。
 A(α, 0)、B(β, 0)、M(t, −t^2+(α+β)t−αβ)
であり、BMの傾きは
 {−t^2+(α+β)t−αβ}/(t−β) ・・・(ii)
(i) を微分すると
 y’=−2x+(α+β)
これが (ii) に一致する点が求める点Nです。
 −2x+(α+β)={−t^2+(α+β)t−αβ}/(t−β)
 −2x={−t^2+(α+β)t−αβ}/(t−β)−(α+β)
   =−t−β
 x=(t+β)/2
よって、
 M(t, −t^2+(α+β)t−αβ)
 M’(t, 0)
 N((t+β)/2, −(t+β)^2/4+(α+β)(t+β)/2−αβ)
 N’((t+β)/2,0)
として、△AMM’、台形M’MNN’、△BMM’に分けて、
面積を求めれば、各tにおける四角形ABNMの面積の最大値をtで表せます。

ここまでです。
(数学愛好猫/回答者)
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60013.数II微積分 面積比問題への考察  
名前:kiyo    日付:2018年9月3日(月) 12時35分
[問題]放物線y=-x^2+(α+β)x-αβ(α<β)とx軸とが囲む図形をDとし,Dの面積をS1とする。放物線とx軸との交点をA,Bとするとき,ABを底辺都市,図形Dに内接する台形の面積Sの最大値をS2とするとき,比S1:S2の値を求めよ。
[略解]S1は1/6公式,S2は平行移動して置換して工夫して積分して
   "答え9:8"
[質問]この問題の場合図形Dに内接する'台形'だったためABとABに向かい合う辺が平行になり面積を求めることが比較的容易になりましたが,もしも台形でなく一般四角形だとすると解答の方針はどうなるのでしょうか?
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