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60337.Re: 二次方程式の実数解  
名前:かおる    日付:2018年9月26日(水) 1時0分
大変よく分かりました!
お二方ともありがとうございました、またよろしくお願いいたします。
(数学愛好者/質問者)
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60328.Re: 二次方程式の実数解  
名前:X    日付:2018年9月25日(火) 19時38分
(2)の別解を。

Aより
x^2+ax+b=2p(x+a/2)
これはAの解が放物線
y=x^2+ax+b (C)
と直線
y=2p(x+a/2) (D)
の交点(C,Dとします)のx座標
となっていることを示しています。
同様に@は
放物線(D)とx軸
との交点(A,Bとします)のx座標
となっていることを示しています。

ここで(C)の対称軸の方程式は
x=-a/2 (E)
一方(D)はpの値によらず
点(-a/2,0)
(つまり(E)とx軸との交点)
を通ることに注意しておきます。

今、A,B,C,Dのx座標を順に
α、β、γ、δ
として、(C)(D)のグラフを描くことで
点A,B,C,Dの位置関係を考えると

(i)p>0のとき
(D)の傾きは、正ですので
グラフにより、x座標が
小さい順に4点を並べると
A,C,B,D
となっています。
(グラフを描きましょう)

(ii)p>0のとき
(D)の傾きは、負ですので
グラフにより、x座標が
小さい順に4点を並べると
C,A,D,B
となっています。
(グラフを描きましょう)

以上から求める大小関係は
p>0のときα<γ<β<δ
p<0のときγ<α<δ<β
となります。
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60327.Re: 二次方程式の実数解  
名前:らすかる    日付:2018年9月25日(火) 19時34分
(1)
@が異なる2実数解を持つ⇔(判別式)>0なのでa^2-4b>0
このときAの判別式は
(a-2p)^2+4(ap-b)=(a^2-4b)+4p^2>0(∵p^2≧0)なので
Aも異なる2実数解を持つ。

(2)
@を解くとx={-a±√(a^2-4b)}/2なので
α={-a-√(a^2-4b)}/2, β={-a+√(a^2-4b)}/2
α^2+aα+b=0, β^2+aβ+b=0なので
f(x)=x^2+(a-2p)x-ap+bとおくと
f(α)=(α^2+aα+b)-(2α+a)p=-(2α+a)p
f(β)=(β^2+aβ+b)-(2β+a)p=-(2β+a)p
2α+a={-a-√(a^2-4b)}+a=-√(a^2-4b)<0
2β+a={-a+√(a^2-4b)}+a=√(a^2-4b)>0
なので
p>0のとき
f(α)=-(2α+a)p>0, f(β)=-(2β+a)p<0
よってα<γ<β<δ
p<0のとき
f(α)=-(2α+a)p<0, f(β)=-(2β+a)p>0
よってγ<α<δ<β

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60326.二次方程式の実数解  
名前:かおる    日付:2018年9月25日(火) 18時24分
a,b,pを実数の定数として、2つの二次方程式
x^2+ax+b=0 …@
x^2+(a-2p)x-ap+b=0 …A
を考える。
(1) @が異なる2つの実数解をもてば、pがどのような実数であってもAは異なる2つの実数解をもつことを示せ。
(2)@が異なる2つの実数解をもつとする。p≠0のとき、@の2つの実数解α、β(α<β)とAの2つの実数解γ、δ(γ<δ)の大小を比較して小さい順に並べよ。

どのように解けばいいのでしょうか?どなたかお願いします。
(数学愛好者/質問者)
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