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60457.Re: 空間ベクトルについて。  
名前:猿でもわかるベクトル    日付:2018年10月9日(火) 17時40分
 返答がないのは、見境のないマルチポストにウンザリしていることもあろうが、そもそもあなたの数学に関する知識が中学レベルにすら達していないと多くの回答者が判断しているからであろう。
 いろいろなところで難関大学の入試問題について質問していながら、今ごろになって

> ↑a=(1,2),↑d=(1,-3)では、平行ですね。

ではどうにもならん。さいわい noname さんがあなたの掲示板でベクトルの基礎を、実に根気よく教えようとしているのだから、そこで徹底的に鍛えてもらうことだ。
 ついでに言うと、 noname さんに返答するときの図は定規を使って丁寧に書くように。失礼ということもあるが、丁寧に図を書かないから、視覚的にベクトルの平行・直交がわからないのだ。図もできれば方眼紙を使って書いた方がよい。
 なお方眼紙や定規というものを知らないのなら、スーパーの文房具売り場にでも行って、店員に尋ねること。
(数学愛好者)
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60453.Re: 空間ベクトルについて。  
名前:コルム    日付:2018年10月9日(火) 12時12分
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10745015.html
すみません。マルチポストです。
なぜ、↑nの始点を定めなくて良いのでしょうか?
教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
(大学受験生/質問者)

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60371.Re: 空間ベクトルについて。  
名前:noname    日付:2018年9月28日(金) 18時54分
その平面の方程式で使っている点Xは、今まさにあちらの掲示板で説明しようとしている、図形上の任意の点Pと同じです。まず簡単な場合を理解してから読み直せば多分分かります。
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60350.空間ベクトルについて。  
名前:コルム    日付:2018年9月27日(木) 13時14分
4点O(0,0,0),A(1,2,4),B(4,-1,3),C(-2,1,7)がある。このとき
(1)線分BCをa:1-aに内分する点をDとする。ただし、0<a<1である。このとき
点Dの座標をaを用いて表せ。

(2)点Aを通り、ベクトルn↑=(-3,1,2)に垂直な平面をαとする。
@平面αと線分BCの交点を求めよ。
A四面体OABCの体積をVとする。四面体OABCは平面αにより2つの立体に分けられ
そのうち点Cを含む立体の体積をV1とする。このとき、V1/Vの値を求めよ。
教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
で、解説の、
(1) OD=(1-a)OB+aOC=(1-a)(4,-1,3)+a(-2,1,7)=(4-6a,-1+2a,3+4a)

(2) @ 平面の式は (-3,1,2)・(OX-OA)=0. (※OX=(x,y,z))
平面と直線BCの交点にDがあるとすると(1)の式を平面の方程式に当てはめれば良い。
(-3,1,2)・((4-6a,-1+2a,3+4a)-(1,2,4))=28a-14=0. ⇒ a=1/2.
これを(1)のODの式に代入して
(4-6a,-1+2a,3+4a)=(1,0,5)

(2) A BC=(4,-1,3)-(-2,1,7)=(6,-2,-4)=-2(-3,1,2)なので、BCと平面αの法線ベクトルは平行である。
つまりBCと平面αは直交する。
平面αは頂点Aも通るので、OBCを底面として四面体OABCを考えると、平面αによりAを頂点とする
2つの角錐に分離される。
底面OBCを真上から見ると、底面を平面αが垂直に分離し、分離後の各角錐の高さは共通となるため、
体積比は底面の面積比に等しくなる。
またa=1/2なので、BCと平面αの交点Dは中点である。
平面αとOCの交点Eを求めると、OE=tOC=t(-2,1,7)とおけるので、平面の式に代入して
(-3,1,2)・((-2t,t,7t)-(1,2,4))=21t-7=0. ⇒ t=1/3.
よって|EC|=(2/3)|OC|, |CD|=(1/2)|BC|.
△ECDの面積S1と△OBCの面積Sの関係は、
S1=(1/2)|EC||CD||sinC|=(1/2)(2/3)|OC|(1/2)|BC||sinC|=(2/3)(1/2){(1/2)|OC||BC||sinC|}=(1/3)S.
従って体積比 V1/V=S1/S=1/3.
で、私の疑問点
@ 平面の式は (-3,1,2)・(OX-OA)=0. (※OX=(x,y,z))
なぜ、OXと表せるのでしょうか?
それと、A BC=(4,-1,3)-(-2,1,7)=(6,-2,-4)=-2(-3,1,2)なので、BCと平面αの法線ベクトルは平行である。
つまりBCと平面αは直交する。
平面αは頂点Aも通るので、OBCを底面として四面体OABCを考えると、平面αによりAを頂点とする
2つの角錐に分離される。
底面OBCを真上から見ると、底面を平面αが垂直に分離し、分離後の各角錐の高さは共通となるため、
体積比は底面の面積比に等しくなる。
またa=1/2なので、BCと平面αの交点Dは中点である。
というところをもう少し詳しく教えていただけないでしょうか?
大変恐縮ですが。
について、教えていただけないでしょうか?
マルチポストですが、返答がなくて。
すみません。
(大学受験生/質問者)

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