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60775.Re: 体積  
名前:あめ    日付:2018年11月9日(金) 21時58分
わざわざすみません😢⤵⤵
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60766.Re: 体積  
名前:X    日付:2018年11月9日(金) 20時48分
l=θ-k
により、問題の立体のz=kに関する断面の
境界線の方程式は
x=(θ-k)cosθ (A)
y=(θ-k)sinθ (B)
z=k (C)

x=0,z=k
(B)より
dy/dθ=sinθ+(θ-k)cosθ (B)'

∴(A)(B)(C)で表される境界線をCとすると
Cについて
k≦θ≦π/2において
dy/dθ≧0
∴yは単調増加
一方、k≦θ≦π/2において
x≧0

よって
S(k)=∫[0→π/2-k]xdy
(A)(B)(B)'により
θによる置換積分
を使うと
S(k)=∫[k→π/2]{(θ-k)cosθ}{sinθ+(θ-k)cosθ}dθ
=∫[k→π/2]{(θ-k)cosθsinθ+{(θ-k)cosθ}^2}dθ
=∫[k→π/2]{(1/2)(θ-k)sin2θ+{(θ-k)^2}(1+cos2θ)/2}dθ
これを計算すると
S(k)=(1/6)(π/2-k)^3
となります。
注)
第一項と第二項を分けて、それぞれ部分積分で
計算します。
特に第二項は部分積分を2回使う必要があるので
計算が煩雑です。
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60762.Re: 体積  
名前:あめ    日付:2018年11月9日(金) 18時13分
極座標の積分を使わない場合はどう表せますか?
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60743.Re: 体積  
名前:ニッケル    日付:2018年11月8日(木) 21時13分
助かりました。
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60719.Re: 体積  
名前:X    日付:2018年11月7日(水) 20時1分
極座標における積分による面積の計算方法を
学習済みという前提であるなら、以下のような
解答が考えられます。

△OABの周及び内部の点をPとすると
↑OP=s↑OA+t↑OB (A)
但し
0≦s+t≦1 (B)
s≧0 (C)
t≧0 (D)
∴P(x,y,z)とすると
x=sθcosθ (E)
y=sθsinθ (F)
z=tθ (G)
よってこれの平面z=kによる断面について
k=tθ
これより
t=k/θ
(B)に代入して
0≦s+k/θ≦1
-k/θ≦s≦1-k/θ
これと(C)により
0≦s≦1-k/θ
∴0≦1-k/θ
となるので
0≦θ≦2π
に注意して
k≦θ≦2π
ここで(E)(F)より極座標におけるr座標rは
r=sθ
よって断面の線分の長さlは
l=(1-k/θ)θ
=θ-k
この線分の端点が原点であることに注意して
問題の立体のz=kによる断面の断面積をS(k)
とすると
S(k)=∫[k→π/2](1/2)(l^2)dθ
=∫[k→π/2]{(1/2)(θ-k)^2}dθ
=[(1/6)(θ-k)^3][k→π/2]
=(1/6)(π/2-k)^3
よって求める体積をVとすると
V=∫[0→π/2]S(k)dk
=∫[0→π/2]{(1/6)(π/2-k)^3}dk
=[-(1/24)(π/2-k)^4][0→π/2]
=(1/24)(π/2)^4
=(π^4)/284
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60713.体積  
名前:ニッケル    日付:2018年11月7日(水) 1時13分
詳しい解答解説お願いします。
(高校 3 年)
https://i.imgur.com/1tsJjFD.jpg
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