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60742.Re: 数列?  
名前:ニッケル    日付:2018年11月8日(木) 21時12分
助かりました。
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60718.Re: 数列?  
名前:X    日付:2018年11月7日(水) 22時35分
(1)
n桁の自然数の個数をa[n]とすると
a[n]=10^n-{10^(n-1)-1}-1
=10^n-10^(n-1)
∴S[n]=Σ[k=1〜n]ka[k]
=Σ[k=1〜n]k{10^k-10^(k-1)}
=Σ[k=1〜n]k10^k-Σ[k=1〜n]k10^(k-1)
第一項でk+1を改めてkと置くと
S[n]=Σ[k=2〜n+1](k-1)10^(k-1)-Σ[k=1〜n]k10^(k-1)
=-Σ[k=2〜n]10^(k-1)-1+n・10^n
=n・10^n-Σ[k=1〜n]10^(k-1)
=n・10^n-(1/9)(10^n-1)

(2)
n桁の自然数に現れる1の総数をb[n]とすると
b[n]=9b[n-1]+9^(n-1)
これより
b[n]/9^n=b[n-1]/9^(n-1)+1/9
∴b[1]=1に注意して
b[n]/9^n=1/9+(n-1)/9=n/9
∴b[n]=n・9^(n-1)
よって
x[n]=Σ[k=1〜n]b[k]
∴x[n]=Σ[k=1〜n]k・9^(k-1) (A)
これより
9x[n]=Σ[k=1〜n]k・9^k

9x[n]=Σ[k=2〜n+1](k-1)・9^(k-1) (B)
((∵)k+1を改めてkと置いた)
(A)-(B)より
-8x[n]=1+Σ[k=2〜n]9^(k-1)-n・9^n
これより
-8x[n]=(1/8)(9^n-1)-n・9^n
∴x[n]=-(1/64)(9^n-1)+(n/8)・9^n
これと(1)の結果により
lim[n→∞]x[n]/S[n]=lim[n→∞]{-(1/64)(9^n-1)+(n/8)・9^n}/{n・10^n-(1/9)(10^n-1)}
=lim[n→∞]{(9/10)^n}{-{1/(64n)}(1-1/9^n)+1/8}/{1-{1/(9n)}(1-1/10^n)}
=0
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60714.数列?  
名前:ニッケル    日付:2018年11月7日(水) 1時14分
詳しい解答解説お願いします。
(高校 3 年)
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