(1)
条件から、少なくとも
lim[x→1]f(x)
は収束しなければなりません。
このことと
lim[x→1](x^3-1)=0
により
lim[x→1](x^2+ax-3)=0
∴1+a-3=0
∴a=2
これにより
lim[x→1]f(x)=lim[x→1]{(x^2+2x-3)/(x^3-1)}
=lim[x→1]{(x+3)/(x^2+x+1)}
=4/3
∴f(x)が連続であることから
b=4/3
(2)
条件から
(i)|x|＜1のとき
f(x)=(ax^3+b)/2
(ii)|x|＞1のとき
f(x)=lim[n→∞]{{ax^(3-2n)+b/x^(2n)+1/x}/{2/x^(2n)+1}}
=1/x
一方
f(1)=(a+b+1)/3
f(-1)=(-a+b-1)/3
後はf(x)がx=1で連続であることから
lim[x→1+0]f(x)=f(1)
lim[x→1-0]f(x)=f(1)
であることを使い、a,bについての連立方程式
を立てて解きます。
但し、これで得られたa,bの値をf(x)に代入し
lim[x→-1+0]f(x)=f(-1)
lim[x→-1-0]f(x)=f(-1)
が成立していることを確かめることを忘れない
ようにしましょう。
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