(1) 条件から、少なくとも lim[x→1]f(x) は収束しなければなりません。 このことと lim[x→1](x^3-1)=0 により lim[x→1](x^2+ax-3)=0 ∴1+a-3=0 ∴a=2 これにより lim[x→1]f(x)=lim[x→1]{(x^2+2x-3)/(x^3-1)} =lim[x→1]{(x+3)/(x^2+x+1)} =4/3 ∴f(x)が連続であることから b=4/3
(2) 条件から (i)|x|<1のとき f(x)=(ax^3+b)/2 (ii)|x|>1のとき f(x)=lim[n→∞]{{ax^(3-2n)+b/x^(2n)+1/x}/{2/x^(2n)+1}} =1/x
一方 f(1)=(a+b+1)/3 f(-1)=(-a+b-1)/3 後はf(x)がx=1で連続であることから lim[x→1+0]f(x)=f(1) lim[x→1-0]f(x)=f(1) であることを使い、a,bについての連立方程式 を立てて解きます。 但し、これで得られたa,bの値をf(x)に代入し lim[x→-1+0]f(x)=f(-1) lim[x→-1-0]f(x)=f(-1) が成立していることを確かめることを忘れない ようにしましょう。
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