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60807.Re: 格子点  
名前:あめ    日付:2018年11月11日(日) 16時41分
わかりやすい解説ありがとうございます。塾のテキストの問題なので出典はわかりません。
u046.d215223218.ctt.ne.jp (218.223.215.46)
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60794.Re: 格子点  
名前:X    日付:2018年11月10日(土) 20時40分
まず前準備。
D内の点をP(x,y)とすると条件から
↑OP=k↑OA+l↑OC (A)
但し
0<k<1 (B)
0<l<1 (C)
(A)を成分表示すると
x=ka+lc (D)
y=kb+ld (E)

(1)
題意を満たす格子点が存在すると仮定すると
(D)(E)のx,yは自然数になります。
しかし、(D)(E)をk,lの連立方程式として
ad-bc=1
に注意して解くと、k,lが整数となってしまい
(B)(C)に矛盾します。
(実際に連立方程式を解きましょう)
よって背理法により、命題は成立します。

(2)
(1)の過程と同じように、今度は
ad-bc=2
に注意して(D)(E)をk,lの連立方程式
として解くと
k=(dx-cy)/2
l=(ay-bx)/2
これを(B)(C)に代入すると
0<dx-cy<2 (B)'
0<ay-bx<2 (C)'
(B)'(C)'の中辺は整数ですので
dx-cy=1 (F)
ay-bx=1 (G)
後は(F)(G)をx,yの連立方程式として
やはりad-bc=2に注意して解きます。

ちなみに平行四辺形OABCの対角線の
交点は線分ACの中点になっています。


補足)
これはad-bcが出てきた時点で
行列式→連立方程式
という連想ができなければ、
難しいかもしれません。
昔(数年前まで?)の高校数学の
教育課程では、ベクトルと関連
付けて行列の学習があり、今回
もその発想で(表面上は行列は
出てこないように)解いています。

この問題の出典は何ですか?
softbank126147173199.bbtec.net (126.147.173.199)
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60792.格子点  
名前:あめ    日付:2018年11月10日(土) 17時35分
よろしくお願いします。
https://i.imgur.com/gRqnKDO.jpg
u046.d215223218.ctt.ne.jp (218.223.215.46)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 5.1.1; PE-TL10) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.80 Mobile Safari/537.36


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