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60873.Re: (untitled)  
名前:らすかる    日付:2018年11月17日(土) 13時43分
別解(内容的にはWIZさんの解答と似ています)

第2式の両辺にyを掛けて (2ay+2y)x-y^2=2ay+6y
第1式からay=1-xなので代入して整理すると 2x^2-2xy+y^2-4x+6y+2=0
両辺に8を足して左辺を平方の和に直すと (x-y-3)^2+(x+1)^2=8
8を2整数の平方の和で表すには(±2)^2+(±2)^2しかないので
(x-y-3=2,x+1=2),(x-y-3=2,x+1=-2),(x-y-3=-2,x+1=2),(x-y-3=-2,x+1=-2)
それぞれを解いて(x,y)=(1,-4),(-3,-8),(1,0),(-3,-4)
最初にyを掛けたのでy=0の場合は代入して確認すると(x,y)=(1,0)は不適
残りの3個をa=(1-x)/yに代入してa=0,-1/2,-1

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60872.Re: (untitled)  
名前:WIZ    日付:2018年11月17日(土) 7時26分
別解

x+ay = 1・・・・・(1)
(2a+2)x-y = 2a+6・・・・・(2)

y = 0と仮定すると、(1)よりx = 1なので、これを(2)に代入すると
2a+2 = 2a+6と不可能な式になりますので、y ≠ 0でなければなりません。
よって、(1)より
a = (1-x)/y・・・・・(3)
となります。

(3)を(2)に代入すると、
2((1-x)/y+1)x-y = 2((1-x)/y+3)
⇒ 2(1-x+y)x-y^2 = 2(1-x+3y)
⇒ 2x-2x^2+2xy-y^2 = 2-2x+6y
⇒ y^2+(6-2x)y+(2x^2-4x+2) = 0
⇒ y = (x-3)±√((x-3)^2-(2x^2-4x+2)) = (x-3)±√(7-2x-x^2) = (x-3)±√(8-(1+x)^2)

yが実数であり整数でもある為には8-(2+x)^2が整数の平方に等しくなければなりません。
(1+x)^2は整数の平方で、8以下なので、0^2, 1^2, 2^2のどれかです。
この内8-(1+x)^2が整数の平方になるのは、8-2^2 = 2^2の場合だけです。
よって、(1+x)^2 = 2^2より、x = 1またはx = -3となります。

x = 1の場合、y = (1-3)±2より、y = -2+2 = 0(不可)またはy = -2-2 = -4です。
x = 1, y = -4の場合、a = (1-1)/(-4) = 0です。

x = -3の場合、y = (-3-3)±2より、y = -6+2 = -4またはy = -6-2 = -8です。
x = -3, y = -4の場合、a = (1-(-3))/(-4) = -1です。
x = -3, y = -8の場合、a = (1-(-3))/(-8) = -1/2です。

以上から、必要条件としてa = 0, -1, -1/2となりますが、
計算過程でx, yが整数になることも確認していますので、十分条件でもあると思います。
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60859.Re: (untitled)  
名前:X    日付:2018年11月16日(金) 18時51分
x+ay=1 (A)
(2a+2)x-y=2a+6 (B)
とします。

(A)+(B)×aより
(2a^2+2a+1)x=2a^2+6a+1 (C)
ここで
2a^2+2a+1=0 (D)
をaの二次方程式と考えたときの
解の判別式をDとすると
D/4=1-2=-1<0
∴(D)は実数解を持たないので
2a^2+2a+1≠0
∴(C)より
x=(2a^2+6a+1)/(2a^2+2a+1)
=1+4a/(2a^2+2a+1) (C)'
(i)a=0のとき
(C)'より
x=1
∴(B)より
y=-4
よって題意を満たします。
(ii)a≠0のとき
(C)'より
x=1+4/(2a+2+1/a)
∴題意を満たすためには
2a+2+1/a=1,-1,2,-2,4,-4 (E)
ここから候補を絞り込んでいきます。
(6通りに場合分けをして地道に解いても
いいですが、煩雑です)
さて、a>0のとき
相加平均と相乗平均の関係から
2a+1/a≧2√2
a<0のときはa=-tと置き換えることにより
2a+1/a≦-2√2
以上から
2a+1/a+2≦2-2√2,2+2√2≦2a+1/a+2
となるので(E)から
2a+2+1/a=-1,-2,-4
(I)2a+2+1/a=-1のとき
2a^2+3a+1=0
(2a+1)(a+1)=0
∴a=-1,-1/2
これらのとき(A)よりyは整数となるので
題意を満たします。

(II)2a+2+1/a=-2のとき
2a^2+4a+1=0
∴a=-2±√2
これらのとき(A)よりyは整数とならないので
不適。

(III)2a+2+1/a=-4のとき
2a^2+6a+1=0
∴a=-3±√7
これらのとき(A)よりyは整数とならないので
不適。

以上から求めるaの値は
a=0,-1,-1/2
となります。

(もっと簡単な方針があるかもしれません。)
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60853.(untitled)  
名前:すん    日付:2018年11月16日(金) 6時56分
aを実数の定数とする。連立方程式 x+ay=1,(2a+2)x-y=2a+6を満たす整数x,yが存在するとき、aの値を求めよ。
わかる方詳しい解説お願いします😭✨
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