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60879.Re: 積分  
名前:IT    日付:2018年11月17日(土) 19時36分
(1) は もっと簡単にいえますね。

t<0でg(t)<0、t>0でg(t)>0
-1≦x≦0 のとき -1≦x≦0≦x+1≦1 で

f(x)=∫[x,0]g(t)dt+∫[0,x+1]g(t)dt

よって f(x)≧∫[x,0]g(t)dt≧∫[-1,0]g(t)dt=f(-1)
    f(x)≦∫[0,x+1]g(t)dt≦∫[0,1]g(t)dt=f(0)

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60877.Re: 積分  
名前:IT    日付:2018年11月17日(土) 18時27分
(2) 方針
(1)の不等式で等号がなりたつのは それぞれ x=-1,0 のときであることを示しておく。

したがって f(x) が最小となるとすると x≦-1、f(x)が最大となるとするとx≧0
あとはf(x)を微分して増減を調べる。

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60875.Re: 積分  
名前:IT    日付:2018年11月17日(土) 17時32分
(1) g(x)=xe^(-|x|) とおくと g(x)は実数全体で連続。

g(0)=0
x>0でg(x)>0,g'(x)=(1-x)e^(-x) なので g(x)は0<x<1 で増加
x<0でg(x)<0,g'(x)=(1+x)e^x なので g(x)は-1<x<0 で増加


したがって -1<x<1 でg(x)は増加 …(ア)
(グラフで考えると ここで(1) が正しいことがわかります)

f(x)=∫[x,x+1]g(t)dt=∫[0,1]g(t+x)dt 置換積分
f(-1)=∫[0,1]g(t-1)dt,f(0)=∫[0,1]g(t)dt

-1≦x≦0,0≦t≦1 について
 -1≦t-1≦t+x≦t≦1
 よって(ア)より g(t-1)≦g(t+x)≦g(t)
 よって ∫[0,1]g(t-1)dt≦∫[0,1]g(t+x)dt≦∫[0,1]g(t)dt
すなわち f(-1)≦f(x)≦f(0)
 
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60870.積分  
名前:弱者    日付:2018年11月17日(土) 0時52分
お願いします🙇⤵
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