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60903.Re: (恐らく)初等幾何 難問?  
名前:kiyo    日付:2018年11月19日(月) 12時44分
ありがとうございます。どうも苦手なようだ…
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60885.Re: (恐らく)初等幾何 難問?  
名前:らすかる    日付:2018年11月18日(日) 5時6分
(1)
BB'とCC'の交点をOとすると、AB=AC'、AB'=AC、∠BAB'=60°+∠BAC=∠C'ACなので
△ABB'≡△AC'C … (a)
よって∠AB'B=∠ACC'なので4点O,A,B',Cは同一円周上にあり∠AOB'=∠ACB'=60°、
また∠ABB'=∠AC'Cなので4点O,B,C',Aは同一円周上にあり∠AOC'=∠ABC'=60°。
よって∠BOC=∠B'OC'=∠AOB'+∠AOC'=120°から∠BOC+∠BA'C=120°+60°=180°なので
O,C,A',Bは同一円周上にあり∠A'OB=∠A'CB=60°。
従って∠AOB'=∠A'OB=60°だからOはAA'上にあり、AA',BB',CC'は1点で交わる。
そして(a)からBB'=CC'、同様に△BA'A≡△BCC'なのでAA'=CC'、従ってAA'=BB'=CC'。

(2)
△ABCの内部の任意の点Pに対し、△BP'A'≡△BPC、∠PBP'=60°となるように
点P'をとると、△BPP'は正三角形なのでPB=PP'、また△BP'A'≡△BPCから
PC=P'A'なので、PA+PB+PC=AP+PP'+P'A'≧AA'。
(等号はPとP'がAA'上にあるときすなわちP=Oのとき。)

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60883.(恐らく)初等幾何 難問?  
名前:kiyo    日付:2018年11月18日(日) 1時24分
BC=7,CA=8,AB=5である△ABCのBC,CA,ABをそれぞれ1辺とする三つの正三角形A'BC,B'CA,C'ABを△ABCの外部につくる。
(1)三つの線分AA',BB',CC'が一点で交わることを示せ。またAA'=BB'=CC'も示せ。
(2)三角形ABCの内部に任意の点PをとるときPA+PB+PC≧AA'を示せ。

初等幾何的に解いてほしいですが、解答が遠まわりになるようでしたらどんな手を使ってもらっても構わないです。自然な解法を第一によろしくお願いします!一応途中まで解いたのですがペン止まりです。解答待ってます。
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「60883.(恐らく)初等幾何 難問?」への返信


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