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61108.Re: 東工大2008 大問3 確率の問題 解答を添削してください  
名前:liquid1224    日付:2018年12月7日(金) 11時1分
ありがとうございます。
またよろしくお願いします。
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61095.Re: 東工大2008 大問3 確率の問題 解答を添削してください  
名前:X    日付:2018年12月6日(木) 18時15分
(1)で
>>このとき、〜とする。
とありますが
このとき、〜「である」。
とした方がいいでしょう。
その他の点に関しては問題ないと思います。
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61091.東工大2008 大問3 確率の問題 解答を添削してください  
名前:liquid1224    日付:2018年12月6日(木) 16時15分
答案の添削をお願いします。

問題
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が1/6とは限らないとする。
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。
(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
(2) 1/4≧Q≧1/2-(3/2)Pであることを示せ。
(東工大 2008 大問3)

答案
(1)kの目が出る確率を、(1/6)+p_kとする。(k=1,2,3,4,5,6)
このとき、Σ[k=1~6](p_k)=0 …@, 0≦(1/6)+p_k≦1⇔-1/6≦p_k≦5/6とする。

これを用いて、
P
=Σ[k=1~6]((1/6)+p_k)^2
=Σ((1/36)+((p_k)/3)+(p_k)^2)
=(1/6)+Σ(p_k)^2 (∵@)
≧1/6
(証明終)
等号成立条件は、
Σ(p_k)^2 =0
(p_k)^2≧0なので、続けて
⇔p_1=p_2=p_3=p_4=p_5=p_6=0
すなわち、サイコロが歪でないことが、等号成立に必要十分である。

(2)P_k=(1/6)+p_kとすると、
Q
=(P_1*P_2+P_1*P_4+P_1*P_6)+(P_3*P_2+P_3*P_4+P_3*P_6)+(P_5*P_2+P_5*P_4+P_5*P_6)
=((1/2)+p_1+p_3+p_5)((1/2)+p_2+p_4+p_6)
=(1/4)+((1/2)Σ[k=1~6]p_k)+(p_1+p_3+p_5)(p_2+p_4+p_6)
=(1/4)-(p_2+p_4+p_6)^2 (∵@)

まず、(p_2+p_4+p_6)^2≧0なので、
1/4≧(1/4)-(p_2+p_4+p_6)^2
⇔1/4≧Q …A

次に、
1/2-(3/2)P
=(1/4)-(3/2)Σ[k=1~6](p_k)^2 (∵(1))
なので、
Q≧1/2-(3/2)P
⇔(3/2)Σ[k=1~6](p_k)^2≧(p_2+p_4+p_6)^2
である。よってこれを示す。
(左辺)-(右辺)
=(3/2)((p_1)^2+(p_2)^2+(p_3)^2+(p_4)^2+(p_5)^2+(p_6)^2)-(1/2)(p_2+p_4+p_6)^2-(1/2)(p_1+p_3+p_5)^2 (∵@)
=(1/2)((p_2-p_4)^2+(p_4-p_6)^2+(p_6-p_2)^2+(p_1-p_3)^2+(p_3-p_5)^2+(p_5-p_1)^2)
≧0
すなわち、Q≧1/2-(3/2)P…B

A、B併せて、題意は示された。
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