61122．Re: 双子素数証明再トライ（基本に戻って）2018-1207

名前：CEGIPO    日付：2018年12月8日(土) 13時45分

自己レスです。 Σ[k=0..A-1]の部分はΣ[k=1..A]の間違いでした。 この修正の上、考察を見直したところ.... 昨日(12月7日)にアップした論証方法（の修正後）では 双子素数が無限に存在する事を 矛盾を導く方法で示す事はすぐには出来ない事がわかりました。 （10数回見直してから慎重にアップしたのですが...) すみません。度々ですみませんがまたこの論証方法は一旦撤回します。 （論証が全て間違っている訳ではなく部分的には正しそうですが） すみません。取り消します。 (社会人/質問者) M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64) Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.110 Safari/537.36

61114．Re: 双子素数証明再トライ（基本に戻って）2018-1207

名前：CEGIPO    日付：2018年12月7日(金) 19時44分

(続き6（最後）） ################################################### 前記４パターンの考察から共通項を抽出できる。すなわち、 《A+1〜A+Aがそれぞれ[A011]〜[A014]式 のいずれかで表せたとすると》 fx,D(),E()は適宜f1,f2,f3 及び前記4パターン各考察の引数をどれか選んで （どういう組み合わせでとってもよい） A^2+A(A+1)/2+A =Σ[k=0..A-1]fx(D(A+k),E(A+k))...[A10x] 《A=2B+1（奇数）の時》 [A10x](左辺) =(2B+1)^2+(2B+1)((2B+1)+1)/2+(2B+1) =4B^2+4B+1+(4B^2+4B+1+2B+1)/2+(2B+1) =4B^2+4B+1+2B^2+3B+1+2B+1 =6B^2+9B+3 より[A10x]両辺は3の倍数 A^2+A(A+1)/2+A =3(2B^2+3B+1) 3{2B^2+3B+1}=Σ[k=0..A-1]fx(D(A+k),E(A+k)) Σ[k=0..A-1]fx(D(A+k),E(A+k))は3の倍数 fx(D(A),E(A))〜fx(D(A+A-1),E(A+A-1)) は連続した自然数だから r〜r+A-1とおいて Σ[k=0..A-1](r+k) ={(r+A-1)(r+A-1+1)-(r-1)r}/2 ={(r+A-1)(r+A)-r^2+r}/2 ={r^2+2rA+A^2-r-A-r^2+r}/2 ={2rA+A^2-A}/2 =A(A+2r-1)/2 したがって、 A=fx(D(A),E(A))-1 r=fx(D(A),E(A)) より A+2r-1= =fx(D(A),E(A))-1 +2fx(D(A),E(A))-1 =3fx(D(A),E(A))-2 または A=fx(D(A),E(A))-1 は3の倍数。 A+2r-1は該当しないから Aが3の倍数でなければならない。 A奇数の場合で考えているから A=3(2c-1)(c:自然数)でなければならない。 ################################################## 以上により Aが奇数とするとA=3(2c-1)(c:自然数) という形をしていなければならない。 実際はA奇数の場合A=fx(a,b)≧n0,5m2(A)-2,5m4(A) であればAは(奇数なら)何であっても良いはずであったから これは矛盾。 n≧n0なる全ての自然数nが f1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれかの形式で表せる としたところに矛盾があった。 すなわち、双子素数を有限組しか存在しない とした前提が矛盾している。 ＝＝＝＝ ＝結論＝ ＝＝＝＝ 双子素数は無限組存在する。[Q.E.D.] ################################################## ...と解いてみたのですが本当でしょうか？ 証明が簡単過ぎるので間違っているかも知れません。 （終わり） (社会人/質問者) M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64) Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.110 Safari/537.36

61113．Re: 双子素数証明再トライ（基本に戻って）2018-1207

名前：CEGIPO    日付：2018年12月7日(金) 19時44分

(続き5） ################################################## 《A=(6m4(A)+1)s4(A)+(5m4(A))なら》 A=(6m4(A)+1)s4(A)+(5m4(A)) =6m4(A)(s4(A)+1)+(s4(A)+1)-m4(A)-1 =f2(s4(A)+1,m4(A))-1 より A+1=f2(s4(A)+1,m4(A)) よって、A+1も双子素数の非核数である。 A+1〜A+Aは全て双子素数の非核数だから つまりfx(a_y,b_y)形式で表せるから 《例えばA+1〜A+Aが全て[A014]式で表せたとすると》 A+1=(6m4(A+1)+1)s4(A+1)+(5m4(A+1))=f2(s4(A)+1,m4(A)) A+2=(6m4(A+2)+1)s4(A+2)+(5m4(A+2))=f2(s4(A+1)+1,m4(A+1)) ... A+k=(6m4(A+k)+1)s4(A+k)+(5m4(A+k))=f2(s4(A+k-1)+1,m4(A+k-1)) ... A+A=(6m4(A+A)+1)s4(A+A)+(5m4(A+A))=f2(s4(A+A-1)+1,m4(A+A-1)) とおけて 辺々足し合わせると A^2+A(A+1)/2 =Σ[k=1..A]{{6m4(A+k)+1}s4(A+k)+{5m4(A+k)}} ={Σ[k=0..A-1]f2(s4(A+k)+1,m4(A+k))}-A A^2+A(A+1)/2+A ={Σ[k=0..A-1]f2(s4(A+k)+1,m4(A+k))}...[A104] 《A=2B+1(奇数)の時》 [A104](左辺) =(2B+1)^2+(2B+1)((2B+1)+1)/2+(2B+1) =4B^2+4B+1+(4B^2+4B+1+2B+1)/2+(2B+1) =4B^2+4B+1+2B^2+3B+1+2B+1 =6B^2+9B+3 より[A104]両辺は3の倍数 A^2+A(A+1)/2+A =3(2B^2+3B+1) 3(2B^2+3B+1)=Σ[k=0..A-1]f2(s4(A+k)+1,m4(A+k)) Σ[k=0..A-1]f2(s4(A+k)+1,m4(A+k))は3の倍数 f2(s4(A)+1,m4(A))〜f2(s4(A+A-1)+1,m4(A+A-1)) は連続した自然数だから r〜r+A-1とおいて Σ[k=0..A-1]f2(s4(A+k)+1,m4(A+k)) =Σ[k=0..A-1](r+k) ={(r+A-1)(r+A-1+1)-(r-1)r}/2 ={(r+A-1)(r+A)-r^2+r}/2 ={r^2+2rA+A^2-r-A-r^2+r}/2 ={2rA+A^2-A}/2 =A(A+2r-1)/2 したがって、 A=f2(s4(A)+1,m4(A))-1 r=f2(s4(A)+1,m4(A)) より A+2r-1= =f2(s4(A)+1,m4(A))-1 +2f2(s4(A)+1,m4(A))-1 =3f2(s4(A)+1,m4(A))-2 または A=f2(s4(A)+1,m4(A))-1 は3の倍数。 A+2r-1は該当しないから Aが3の倍数でなければならない。 A奇数の場合で考えているから A=3(2c-1)(c:自然数)でなければならない。 ################################################### （続く） (社会人/質問者) M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64) Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.110 Safari/537.36

61112．Re: 双子素数証明再トライ（基本に戻って）2018-1207

名前：CEGIPO    日付：2018年12月7日(金) 19時43分

(続き4) ################################################## 《A=(6m3(A)+1)s3(A)+(m3(A)-1)なら》 A=(6m3(A)+1)s3(A)+(m3(A)-1) =6m3(A)s3(A)+m3(A)+s3(A)-1 =f3(m3(A),s3(A))-1 より A+1=f3(m3(A),s3(A)) よって、A+1も双子素数の非核数である。 A+1〜A+Aは全て双子素数の非核数だから つまりfx(a_y,b_y)形式で表せるから 《例えばA+1〜A+Aが全て[A013]式で表せたとすると》 A+1=(6m3(A+1)+1)s3(A)+(m3(A+1)-1)=f3(m3(A),s3(A)) A+2=(6m3(A+2)+1)s3(A)+(m3(A+2)-1)=f3(m3(A+1),s3(A+1)) ... A+k=(6m3(A+k)+1)s3(A)+(m3(A+k)-1)=f3(m3(A+k-1),s3(A+k-1)) ... A+A=(6m3(A+A)+1)s3(A)+(m3(A+A)-1)=f3(m3(A+A-1),s3(A+A-1)) とおけて 辺々足し合わせると A^2+A(A+1)/2 =Σ[k=1..A]{{6m3(A+k)+1}s3(A+k)+m3(A+k)-1} ={Σ[k=0..A-1]f3(m3(A+k),s3(A+k))}-A A^2+A(A+1)/2+A ={Σ[k=0..A-1]f3(m3(A+k),s3(A+k))}...[A103] 《A=2B+1(奇数)の時》 [A103](左辺) =(2B+1)^2+(2B+1)((2B+1)+1)/2+(2B+1) =4B^2+4B+1+(4B^2+4B+1+2B+1)/2+(2B+1) =4B^2+4B+1+2B^2+3B+1+2B+1 =6B^2+9B+3 より[A103]両辺は3の倍数 A^2+A(A+1)/2+A =3(2B^2+3B+1) 3{2B^2+3B+1}=Σ[k=0..A-1]f3(m3(A+k),s3(A+k)) Σ[k=0..A-1]f3(m3(A+k),s3(A+k))は3の倍数 f3(m3(A),s3(A))〜f3(m3(A+A-1),s3(A+A-1)) は連続した自然数だから r〜r+A-1とおいて Σ[k=0..A-1]f3(m3(A+k),s3(A+k)) =Σ[k=0..A-1](r+k) ={(r+A-1)(r+A-1+1)-(r-1)r}/2 ={(r+A-1)(r+A)-r^2+r}/2 ={r^2+2rA+A^2-r-A-r^2+r}/2 ={2rA+A^2-A}/2 =A(A+2r-1)/2 したがって、 A=f3(m3(A),s3(A))-1 r=f3(m3(A),s3(A)) より A+2r-1= =f3(m3(A),s3(A))-1 +2f3(m3(A),s3(A))-1 =3f3(m3(A),s3(A))-2 または A=f3(m3(A),s3(A))-1 は3の倍数。 A+2r-1は該当しないから Aが3の倍数でなければならない。 A奇数の場合で考えているから A=3(2c-1)(c:自然数)でなければならない。 ################################################## (続く) (社会人/質問者) M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64) Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.110 Safari/537.36

61111．Re: 双子素数証明再トライ（基本に戻って）2018-1207

名前：CEGIPO    日付：2018年12月7日(金) 19時42分

(続き3） ################################################## 《A=(6m2(A)-1)s2(A)+(5m2(A)-2)なら》 A=(6m2(A)-1)s2(A)+(5m2(A)-2) =6m2(A)(s2(A)+1)-m2(A)-(s2(A)+1)-1 =f1(m2(A),s2(A)+1)-1 より A+1=f1(m2(A),s2(A)+1) よって、A+1も双子素数の非核数である。 A+1〜A+Aは全て双子素数の非核数だから つまりfx(a_y,b_y)形式で表せるから 《例えばA+1〜A+Aが全て[A012]式で表せたとすると》 A+1=(6m2(A+1)-1)s2(A)+(5m2(A+1)-2)=f1(m2(A),s2(A)+1) A+2=(6m2(A+2)-1)s2(A)+(5m2(A+2)-2)=f1(m2(A+1),s2(A+1)+1) ... A+k=(6m2(A+k)-1)s2(A)+(5m2(A+k)-2)=f1(m2(A+k-1),s2(A+k-1)+1) ... A+A=(6m2(A+A)-1)s2(A)+(5m2(A+A)-2)=f1(m2(A+A-1),s2(A+A-1)+1) とおけて 辺々足し合わせると A^2+A(A+1)/2 =Σ[k=1..A]{{6m2(A+k)-1}s2(A+k)+{5m2(A+k)-1-1}} ={Σ[k=0..A-1]f1(m2(A+k),s2(A+k)+1)}-A A^2+A(A+1)/2+A =Σ[k=0..A-1]f1(m2(A+k),s2(A+k)+1)...[A102] 《A=2B+1(奇数)の時》 [A102](左辺) =(2B+1)^2+(2B+1)((2B+1)+1)/2+(2B+1) =4B^2+4B+1+(4B^2+4B+1+2B+1)/2+(2B+1) =4B^2+4B+1+2B^2+3B+1+2B+1 =6B^2+9B+3 より[A102]両辺は3の倍数 A^2+A(A+1)/2+A =3(2B^2+3B+1) 3{2B^2+3B+1}=Σ[k=0..A-1]f1(m2(A+k),s2(A+k)+1) Σ[k=0..A-1]f1(m2(A+k),s2(A+k)+1)は3の倍数 f1(m2(A),s2(A)+1)〜f1(m2(A+A-1),s2(A+A-1)+1) は連続した自然数だから r〜r+A-1とおいて Σ[k=0..A-1]f1(m2(A+k),s2(A+k)+1) =Σ[k=0..A-1](r+k) ={(r+A-1)(r+A-1+1)-(r-1)r}/2 ={(r+A-1)(r+A)-r^2+r}/2 ={r^2+2rA+A^2-r-A-r^2+r}/2 ={2rA+A^2-A}/2 =A(A+2r-1)/2 したがって、 A=f1(m2(A),s2(A)+1)-1 r=f1(m2(A),s2(A)+1) より A+2r-1= =f1(m2(A),s2(A)+1)-1 +2f1(m2(A),s2(A)+1)-1 =3f1(m2(A),s2(A)+1)-2 または A=f1(m2(A),s2(A)+1)-1 は3の倍数。 A+2r-1は該当しないから Aが3の倍数でなければならない。 A奇数の場合で考えているから A=3(2c-1)(c:自然数)でなければならない。 ################################################## （続く） (社会人/質問者) M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64) Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.110 Safari/537.36

61110．Re: 双子素数証明再トライ（基本に戻って）2018-1207

名前：CEGIPO    日付：2018年12月7日(金) 19時41分

(続き2） ################################################## 《A=(6m1(A)-1)s1(A)+(m1(A)-1)なら》 A=6m1(A)s1(A)+m1(A)-s1(A)-1 =f2(m1(A),s1(A))-1 より A+1=f2(m1(A),s1(A)) よって、A+1も双子素数の非核数である。 A+1〜A+Aは全て双子素数の非核数だから つまりfx(a_y,b_y)形式で表せるから 《例えばA+1〜A+Aが全て[A011]式で表せたとすると》 A+1=(6m1(A+1)-1)s1(A+1)+(m1(A+1)-1)=f2(m1(A),s1(A)) A+2=(6m1(A+2)-1)s1(A+2)+(m1(A+2)-1)=f2(m1(A+1),s1(A+1)) ... A+k=(6m1(A+k)-1)s1(A+k)+(m1(A+k)-1)=f2(m1(A+k-1),s1(A+k-1)) ... A+A=(6m1(A+A)-1)s1(A+A)+(m1(A+A)-1)=f2(m1(A+A-1),s1(A+A-1)) とおけて 辺々足し合わせると A^2+A(A+1)/2 =Σ[k=1..A]{{6m1(A+k)-1}s1(A+k)+m1(A+k)-1} ={Σ[k=0..A-1]f2(m1(A+k),s1(A+k))}-A A^2+A(A+1)/2+A =Σ[k=0..A-1]f2(m1(A+k),s1(A+k))...[A101] 《A=2B+1（奇数）の時》 [A101](左辺) =(2B+1)^2+(2B+1)((2B+1)+1)/2+(2B+1) =4B^2+4B+1+(4B^2+4B+1+2B+1)/2+(2B+1) =4B^2+4B+1+2B^2+3B+1+2B+1 =6B^2+9B+3 より[A101]両辺は3の倍数 A^2+A(A+1)/2+A =3(2B^2+3B+1) 3{2B^2+3B+1}=Σ[k=0..A-1]f2(m1(A+k),s1(A+k)) Σ[k=0..A-1]f2(m1(A+k),s1(A+k))は3の倍数 f2(m1(A),s1(A))〜f2(m1(A+A-1),s1(A+A-1)) は連続した自然数だから r〜r+A-1とおいて Σ[k=0..A-1]f2(m1(A+k),s1(A+k)) =Σ[k=0..A-1](r+k) ={(r+A-1)(r+A-1+1)-(r-1)r}/2 ={(r+A-1)(r+A)-r^2+r}/2 ={r^2+2rA+A^2-r-A-r^2+r}/2 ={2rA+A^2-A}/2 =A(A+2r-1)/2 したがって、 A=f2(m1(A),s1(A))-1 r=f2(m1(A),s1(A)) より A+2r-1= =f2(m1(A),s1(A))-1 +2f2(m1(A),s1(A))-1 =3f2(m1(A),s1(A))-2 または A=f2(m1(A),s1(A))-1 は3の倍数。 A+2r-1は該当しないから Aが3の倍数でなければならない。 A奇数の場合で考えているから A=3(2c-1)(c:自然数)でなければならない。 ################################################## （続く） (社会人/質問者) M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64) Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.110 Safari/537.36

61109．双子素数証明再トライ（基本に戻って）2018-1207

名前：CEGIPO    日付：2018年12月7日(金) 19時40分

（最初） （長文です。長いので六分割しました。） 【双子素数が無限にある事を示す証明トライです。 問題自体は未解決問題ですが 下記考察は平易なのでこちらにアップします。】 f1(a,b)=6ab-a-b f2(a,b)=6ab+a-b f3(a,b)=6ab+a+b とおく。(a,b:自然数) ※先に用語の定義※ 双子素数の「核数」とは(6x-1,6x+1)が双子素数に なるような自然数xの事とする。 ((3,5)を唯一の例外として双子素数は 全てその形をしている） そうならない自然数の事を双子素数の「非核数」と 呼ぶ事にする。 /************************************************/ xが双子素数の「非核数」の時xは f1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれかで表せる xが双子素数の「核数」の時xは f1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれでも表せない xがf1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれかで表せる時 xは双子素数の「非核数」である xがf1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれでも表せない時 xは双子素数の「核数」である （この部分は以前の発言で示しました。 必要があれば証明を再掲します。） /************************************************/ /*----------------------------------------------*/ 今、双子素数が有限組しか存在しないと仮定する。 /*----------------------------------------------*/ そうするとある自然数n0を1つとってA=fx(a,b)≧n0なる 全ての自然数A=fx(a,b)に対して /*******************************************************************/ A≧3かつ(A≡0(mod.5)またはA≡3(mod.5)) A≧5かつ(A≡0(mod.7)またはA≡5(mod.7)) A≧8かつ(A≡1(mod.11)またはA≡8(mod.11)) A≧10かつ(A≡1(mod.13)またはA≡10(mod.13)) A≧13かつ(A≡2(mod.17)またはA≡13(mod.17)) A≧15かつ(A≡2(mod.19)またはA≡15(mod.19)) A≧18かつ(A≡3(mod.23)またはA≡18(mod.23)) A≧20かつ(A≡3(mod.25)またはA≡20(mod.25)) ... A≧5m-2かつ(A≡m-1(mod.6m-1)またはA≡5m-2(mod.6m-1)) A≧5mかつ(A≡m-1(mod.6m+1)またはA≡5m(mod.6m+1)) ... (1≦自然数m＜∞) のいずれかが成り立つようにできる。 /********************************************************************/ （これが成り立つ時にA+1が双子素数の非核数になる事の証明は下記各考察参照） A=fx(a,b)≧n0 A=fx(a,b)≧5m2(A)-2,5m4(A) とすると A=(6m1(A)-1)s1(A)+(m1(A)-1)...[A011] A=(6m2(A)-1)s2(A)+(5m2(A)-2)..[A012] A=(6m3(A)+1)s3(A)+(m3(A)-1)...[A013] A=(6m4(A)+1)s4(A)+(5m4(A))....[A014] の四式のいずれかが成り立つように 自然数m1(A),m2(A),m3(A),m4(A), 自然数s1(A),s3(A), 非負整数s2(A),s4(A)がとれる。 ################################################## (続く） (社会人/質問者) M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64) Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.110 Safari/537.36

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