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(最初)
(長文です。長いので六分割しました。)
【双子素数が無限にある事を示す証明トライです。 問題自体は未解決問題ですが 下記考察は平易なのでこちらにアップします。】
f1(a,b)=6ab-a-b f2(a,b)=6ab+a-b f3(a,b)=6ab+a+b
とおく。(a,b:自然数)
※先に用語の定義※
双子素数の「核数」とは(6x-1,6x+1)が双子素数に なるような自然数xの事とする。 ((3,5)を唯一の例外として双子素数は 全てその形をしている) そうならない自然数の事を双子素数の「非核数」と 呼ぶ事にする。
/************************************************/ xが双子素数の「非核数」の時xは f1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれかで表せる
xが双子素数の「核数」の時xは f1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれでも表せない
xがf1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれかで表せる時 xは双子素数の「非核数」である
xがf1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれでも表せない時 xは双子素数の「核数」である
(この部分は以前の発言で示しました。 必要があれば証明を再掲します。) /************************************************/
/*----------------------------------------------*/ 今、双子素数が有限組しか存在しないと仮定する。 /*----------------------------------------------*/
そうするとある自然数n0を1つとってA=fx(a,b)≧n0なる 全ての自然数A=fx(a,b)に対して
/*******************************************************************/ A≧3かつ(A≡0(mod.5)またはA≡3(mod.5)) A≧5かつ(A≡0(mod.7)またはA≡5(mod.7)) A≧8かつ(A≡1(mod.11)またはA≡8(mod.11)) A≧10かつ(A≡1(mod.13)またはA≡10(mod.13)) A≧13かつ(A≡2(mod.17)またはA≡13(mod.17)) A≧15かつ(A≡2(mod.19)またはA≡15(mod.19)) A≧18かつ(A≡3(mod.23)またはA≡18(mod.23)) A≧20かつ(A≡3(mod.25)またはA≡20(mod.25)) ... A≧5m-2かつ(A≡m-1(mod.6m-1)またはA≡5m-2(mod.6m-1)) A≧5mかつ(A≡m-1(mod.6m+1)またはA≡5m(mod.6m+1)) ... (1≦自然数m<∞)
のいずれかが成り立つようにできる。 /********************************************************************/
(これが成り立つ時にA+1が双子素数の非核数になる事の証明は下記各考察参照)
A=fx(a,b)≧n0 A=fx(a,b)≧5m2(A)-2,5m4(A) とすると
A=(6m1(A)-1)s1(A)+(m1(A)-1)...[A011] A=(6m2(A)-1)s2(A)+(5m2(A)-2)..[A012] A=(6m3(A)+1)s3(A)+(m3(A)-1)...[A013] A=(6m4(A)+1)s4(A)+(5m4(A))....[A014]
の四式のいずれかが成り立つように 自然数m1(A),m2(A),m3(A),m4(A), 自然数s1(A),s3(A), 非負整数s2(A),s4(A)がとれる。
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(続く) (社会人/質問者)
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