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61122.Re: 双子素数証明再トライ(基本に戻って)2018-1207  
名前:CEGIPO    日付:2018年12月8日(土) 13時45分
自己レスです。

Σ[k=0..A-1]の部分はΣ[k=1..A]の間違いでした。
この修正の上、考察を見直したところ....
昨日(12月7日)にアップした論証方法(の修正後)では
双子素数が無限に存在する事を
矛盾を導く方法で示す事はすぐには出来ない事がわかりました。
(10数回見直してから慎重にアップしたのですが...)

すみません。度々ですみませんがまたこの論証方法は一旦撤回します。
(論証が全て間違っている訳ではなく部分的には正しそうですが)

すみません。取り消します。
(社会人/質問者)

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61114.Re: 双子素数証明再トライ(基本に戻って)2018-1207  
名前:CEGIPO    日付:2018年12月7日(金) 19時44分
(続き6(最後))
###################################################

前記4パターンの考察から共通項を抽出できる。すなわち、

《A+1〜A+Aがそれぞれ[A011]〜[A014]式
のいずれかで表せたとすると》

fx,D(),E()は適宜f1,f2,f3
及び前記4パターン各考察の引数をどれか選んで
(どういう組み合わせでとってもよい)

A^2+A(A+1)/2+A
=Σ[k=0..A-1]fx(D(A+k),E(A+k))...[A10x]

《A=2B+1(奇数)の時》

[A10x](左辺)
=(2B+1)^2+(2B+1)((2B+1)+1)/2+(2B+1)
=4B^2+4B+1+(4B^2+4B+1+2B+1)/2+(2B+1)
=4B^2+4B+1+2B^2+3B+1+2B+1
=6B^2+9B+3
より[A10x]両辺は3の倍数

A^2+A(A+1)/2+A
=3(2B^2+3B+1)

3{2B^2+3B+1}=Σ[k=0..A-1]fx(D(A+k),E(A+k))

Σ[k=0..A-1]fx(D(A+k),E(A+k))は3の倍数

fx(D(A),E(A))〜fx(D(A+A-1),E(A+A-1))
は連続した自然数だから
r〜r+A-1とおいて

Σ[k=0..A-1](r+k)
={(r+A-1)(r+A-1+1)-(r-1)r}/2
={(r+A-1)(r+A)-r^2+r}/2
={r^2+2rA+A^2-r-A-r^2+r}/2
={2rA+A^2-A}/2
=A(A+2r-1)/2

したがって、

A=fx(D(A),E(A))-1
r=fx(D(A),E(A))

より

A+2r-1=
=fx(D(A),E(A))-1
+2fx(D(A),E(A))-1
=3fx(D(A),E(A))-2

または

A=fx(D(A),E(A))-1

は3の倍数。

A+2r-1は該当しないから
Aが3の倍数でなければならない。
A奇数の場合で考えているから
A=3(2c-1)(c:自然数)でなければならない。

##################################################

以上により

Aが奇数とするとA=3(2c-1)(c:自然数)
という形をしていなければならない。

実際はA奇数の場合A=fx(a,b)≧n0,5m2(A)-2,5m4(A)
であればAは(奇数なら)何であっても良いはずであったから
これは矛盾。

n≧n0なる全ての自然数nが
f1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれかの形式で表せる
としたところに矛盾があった。

すなわち、双子素数を有限組しか存在しない
とした前提が矛盾している。

====
=結論=
====

双子素数は無限組存在する。[Q.E.D.]

##################################################


...と解いてみたのですが本当でしょうか?
証明が簡単過ぎるので間違っているかも知れません。

(終わり)
(社会人/質問者)

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61113.Re: 双子素数証明再トライ(基本に戻って)2018-1207  
名前:CEGIPO    日付:2018年12月7日(金) 19時44分
(続き5)
##################################################

《A=(6m4(A)+1)s4(A)+(5m4(A))なら》

A=(6m4(A)+1)s4(A)+(5m4(A))
=6m4(A)(s4(A)+1)+(s4(A)+1)-m4(A)-1
=f2(s4(A)+1,m4(A))-1
より
A+1=f2(s4(A)+1,m4(A))

よって、A+1も双子素数の非核数である。
A+1〜A+Aは全て双子素数の非核数だから
つまりfx(a_y,b_y)形式で表せるから

《例えばA+1〜A+Aが全て[A014]式で表せたとすると》

A+1=(6m4(A+1)+1)s4(A+1)+(5m4(A+1))=f2(s4(A)+1,m4(A))
A+2=(6m4(A+2)+1)s4(A+2)+(5m4(A+2))=f2(s4(A+1)+1,m4(A+1))
...
A+k=(6m4(A+k)+1)s4(A+k)+(5m4(A+k))=f2(s4(A+k-1)+1,m4(A+k-1))
...
A+A=(6m4(A+A)+1)s4(A+A)+(5m4(A+A))=f2(s4(A+A-1)+1,m4(A+A-1))

とおけて

辺々足し合わせると

A^2+A(A+1)/2
=Σ[k=1..A]{{6m4(A+k)+1}s4(A+k)+{5m4(A+k)}}
={Σ[k=0..A-1]f2(s4(A+k)+1,m4(A+k))}-A

A^2+A(A+1)/2+A
={Σ[k=0..A-1]f2(s4(A+k)+1,m4(A+k))}...[A104]

《A=2B+1(奇数)の時》

[A104](左辺)
=(2B+1)^2+(2B+1)((2B+1)+1)/2+(2B+1)
=4B^2+4B+1+(4B^2+4B+1+2B+1)/2+(2B+1)
=4B^2+4B+1+2B^2+3B+1+2B+1
=6B^2+9B+3
より[A104]両辺は3の倍数

A^2+A(A+1)/2+A
=3(2B^2+3B+1)

3(2B^2+3B+1)=Σ[k=0..A-1]f2(s4(A+k)+1,m4(A+k))

Σ[k=0..A-1]f2(s4(A+k)+1,m4(A+k))は3の倍数

f2(s4(A)+1,m4(A))〜f2(s4(A+A-1)+1,m4(A+A-1))
は連続した自然数だから
r〜r+A-1とおいて

Σ[k=0..A-1]f2(s4(A+k)+1,m4(A+k))
=Σ[k=0..A-1](r+k)
={(r+A-1)(r+A-1+1)-(r-1)r}/2
={(r+A-1)(r+A)-r^2+r}/2
={r^2+2rA+A^2-r-A-r^2+r}/2
={2rA+A^2-A}/2
=A(A+2r-1)/2

したがって、

A=f2(s4(A)+1,m4(A))-1
r=f2(s4(A)+1,m4(A))

より

A+2r-1=
=f2(s4(A)+1,m4(A))-1
+2f2(s4(A)+1,m4(A))-1
=3f2(s4(A)+1,m4(A))-2

または

A=f2(s4(A)+1,m4(A))-1

は3の倍数。

A+2r-1は該当しないから
Aが3の倍数でなければならない。
A奇数の場合で考えているから
A=3(2c-1)(c:自然数)でなければならない。

###################################################
(続く)
(社会人/質問者)

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61112.Re: 双子素数証明再トライ(基本に戻って)2018-1207  
名前:CEGIPO    日付:2018年12月7日(金) 19時43分
(続き4)
##################################################

《A=(6m3(A)+1)s3(A)+(m3(A)-1)なら》

A=(6m3(A)+1)s3(A)+(m3(A)-1)
=6m3(A)s3(A)+m3(A)+s3(A)-1
=f3(m3(A),s3(A))-1
より
A+1=f3(m3(A),s3(A))

よって、A+1も双子素数の非核数である。
A+1〜A+Aは全て双子素数の非核数だから
つまりfx(a_y,b_y)形式で表せるから

《例えばA+1〜A+Aが全て[A013]式で表せたとすると》

A+1=(6m3(A+1)+1)s3(A)+(m3(A+1)-1)=f3(m3(A),s3(A))
A+2=(6m3(A+2)+1)s3(A)+(m3(A+2)-1)=f3(m3(A+1),s3(A+1))
...
A+k=(6m3(A+k)+1)s3(A)+(m3(A+k)-1)=f3(m3(A+k-1),s3(A+k-1))
...
A+A=(6m3(A+A)+1)s3(A)+(m3(A+A)-1)=f3(m3(A+A-1),s3(A+A-1))

とおけて

辺々足し合わせると

A^2+A(A+1)/2
=Σ[k=1..A]{{6m3(A+k)+1}s3(A+k)+m3(A+k)-1}
={Σ[k=0..A-1]f3(m3(A+k),s3(A+k))}-A

A^2+A(A+1)/2+A
={Σ[k=0..A-1]f3(m3(A+k),s3(A+k))}...[A103]

《A=2B+1(奇数)の時》

[A103](左辺)
=(2B+1)^2+(2B+1)((2B+1)+1)/2+(2B+1)
=4B^2+4B+1+(4B^2+4B+1+2B+1)/2+(2B+1)
=4B^2+4B+1+2B^2+3B+1+2B+1
=6B^2+9B+3
より[A103]両辺は3の倍数

A^2+A(A+1)/2+A
=3(2B^2+3B+1)

3{2B^2+3B+1}=Σ[k=0..A-1]f3(m3(A+k),s3(A+k))

Σ[k=0..A-1]f3(m3(A+k),s3(A+k))は3の倍数

f3(m3(A),s3(A))〜f3(m3(A+A-1),s3(A+A-1))
は連続した自然数だから
r〜r+A-1とおいて

Σ[k=0..A-1]f3(m3(A+k),s3(A+k))
=Σ[k=0..A-1](r+k)
={(r+A-1)(r+A-1+1)-(r-1)r}/2
={(r+A-1)(r+A)-r^2+r}/2
={r^2+2rA+A^2-r-A-r^2+r}/2
={2rA+A^2-A}/2
=A(A+2r-1)/2

したがって、

A=f3(m3(A),s3(A))-1
r=f3(m3(A),s3(A))

より

A+2r-1=
=f3(m3(A),s3(A))-1
+2f3(m3(A),s3(A))-1
=3f3(m3(A),s3(A))-2

または

A=f3(m3(A),s3(A))-1

は3の倍数。

A+2r-1は該当しないから
Aが3の倍数でなければならない。
A奇数の場合で考えているから
A=3(2c-1)(c:自然数)でなければならない。

##################################################
(続く)
(社会人/質問者)

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61111.Re: 双子素数証明再トライ(基本に戻って)2018-1207  
名前:CEGIPO    日付:2018年12月7日(金) 19時42分
(続き3)
##################################################

《A=(6m2(A)-1)s2(A)+(5m2(A)-2)なら》

A=(6m2(A)-1)s2(A)+(5m2(A)-2)
=6m2(A)(s2(A)+1)-m2(A)-(s2(A)+1)-1
=f1(m2(A),s2(A)+1)-1
より
A+1=f1(m2(A),s2(A)+1)

よって、A+1も双子素数の非核数である。
A+1〜A+Aは全て双子素数の非核数だから
つまりfx(a_y,b_y)形式で表せるから

《例えばA+1〜A+Aが全て[A012]式で表せたとすると》

A+1=(6m2(A+1)-1)s2(A)+(5m2(A+1)-2)=f1(m2(A),s2(A)+1)
A+2=(6m2(A+2)-1)s2(A)+(5m2(A+2)-2)=f1(m2(A+1),s2(A+1)+1)
...
A+k=(6m2(A+k)-1)s2(A)+(5m2(A+k)-2)=f1(m2(A+k-1),s2(A+k-1)+1)
...
A+A=(6m2(A+A)-1)s2(A)+(5m2(A+A)-2)=f1(m2(A+A-1),s2(A+A-1)+1)

とおけて

辺々足し合わせると

A^2+A(A+1)/2
=Σ[k=1..A]{{6m2(A+k)-1}s2(A+k)+{5m2(A+k)-1-1}}
={Σ[k=0..A-1]f1(m2(A+k),s2(A+k)+1)}-A

A^2+A(A+1)/2+A
=Σ[k=0..A-1]f1(m2(A+k),s2(A+k)+1)...[A102]

《A=2B+1(奇数)の時》

[A102](左辺)
=(2B+1)^2+(2B+1)((2B+1)+1)/2+(2B+1)
=4B^2+4B+1+(4B^2+4B+1+2B+1)/2+(2B+1)
=4B^2+4B+1+2B^2+3B+1+2B+1
=6B^2+9B+3
より[A102]両辺は3の倍数

A^2+A(A+1)/2+A
=3(2B^2+3B+1)

3{2B^2+3B+1}=Σ[k=0..A-1]f1(m2(A+k),s2(A+k)+1)

Σ[k=0..A-1]f1(m2(A+k),s2(A+k)+1)は3の倍数

f1(m2(A),s2(A)+1)〜f1(m2(A+A-1),s2(A+A-1)+1)
は連続した自然数だから
r〜r+A-1とおいて

Σ[k=0..A-1]f1(m2(A+k),s2(A+k)+1)
=Σ[k=0..A-1](r+k)
={(r+A-1)(r+A-1+1)-(r-1)r}/2
={(r+A-1)(r+A)-r^2+r}/2
={r^2+2rA+A^2-r-A-r^2+r}/2
={2rA+A^2-A}/2
=A(A+2r-1)/2

したがって、
A=f1(m2(A),s2(A)+1)-1
r=f1(m2(A),s2(A)+1)

より

A+2r-1=
=f1(m2(A),s2(A)+1)-1
+2f1(m2(A),s2(A)+1)-1
=3f1(m2(A),s2(A)+1)-2

または

A=f1(m2(A),s2(A)+1)-1

は3の倍数。

A+2r-1は該当しないから
Aが3の倍数でなければならない。
A奇数の場合で考えているから
A=3(2c-1)(c:自然数)でなければならない。

##################################################
(続く)
(社会人/質問者)

M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64)
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61110.Re: 双子素数証明再トライ(基本に戻って)2018-1207  
名前:CEGIPO    日付:2018年12月7日(金) 19時41分
(続き2)
##################################################

《A=(6m1(A)-1)s1(A)+(m1(A)-1)なら》

A=6m1(A)s1(A)+m1(A)-s1(A)-1
=f2(m1(A),s1(A))-1
より
A+1=f2(m1(A),s1(A))

よって、A+1も双子素数の非核数である。
A+1〜A+Aは全て双子素数の非核数だから
つまりfx(a_y,b_y)形式で表せるから

《例えばA+1〜A+Aが全て[A011]式で表せたとすると》

A+1=(6m1(A+1)-1)s1(A+1)+(m1(A+1)-1)=f2(m1(A),s1(A))
A+2=(6m1(A+2)-1)s1(A+2)+(m1(A+2)-1)=f2(m1(A+1),s1(A+1))
...
A+k=(6m1(A+k)-1)s1(A+k)+(m1(A+k)-1)=f2(m1(A+k-1),s1(A+k-1))
...
A+A=(6m1(A+A)-1)s1(A+A)+(m1(A+A)-1)=f2(m1(A+A-1),s1(A+A-1))

とおけて

辺々足し合わせると

A^2+A(A+1)/2
=Σ[k=1..A]{{6m1(A+k)-1}s1(A+k)+m1(A+k)-1}
={Σ[k=0..A-1]f2(m1(A+k),s1(A+k))}-A

A^2+A(A+1)/2+A
=Σ[k=0..A-1]f2(m1(A+k),s1(A+k))...[A101]

《A=2B+1(奇数)の時》

[A101](左辺)
=(2B+1)^2+(2B+1)((2B+1)+1)/2+(2B+1)
=4B^2+4B+1+(4B^2+4B+1+2B+1)/2+(2B+1)
=4B^2+4B+1+2B^2+3B+1+2B+1
=6B^2+9B+3
より[A101]両辺は3の倍数

A^2+A(A+1)/2+A
=3(2B^2+3B+1)

3{2B^2+3B+1}=Σ[k=0..A-1]f2(m1(A+k),s1(A+k))

Σ[k=0..A-1]f2(m1(A+k),s1(A+k))は3の倍数

f2(m1(A),s1(A))〜f2(m1(A+A-1),s1(A+A-1))
は連続した自然数だから
r〜r+A-1とおいて

Σ[k=0..A-1]f2(m1(A+k),s1(A+k))
=Σ[k=0..A-1](r+k)
={(r+A-1)(r+A-1+1)-(r-1)r}/2
={(r+A-1)(r+A)-r^2+r}/2
={r^2+2rA+A^2-r-A-r^2+r}/2
={2rA+A^2-A}/2
=A(A+2r-1)/2

したがって、

A=f2(m1(A),s1(A))-1
r=f2(m1(A),s1(A))

より

A+2r-1=
=f2(m1(A),s1(A))-1
+2f2(m1(A),s1(A))-1
=3f2(m1(A),s1(A))-2

または

A=f2(m1(A),s1(A))-1

は3の倍数。

A+2r-1は該当しないから
Aが3の倍数でなければならない。
A奇数の場合で考えているから
A=3(2c-1)(c:自然数)でなければならない。

##################################################
(続く)
(社会人/質問者)

M014008106064.v4.enabler.ne.jp (14.8.106.64)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/70.0.3538.110 Safari/537.36

61109.双子素数証明再トライ(基本に戻って)2018-1207  
名前:CEGIPO    日付:2018年12月7日(金) 19時40分
(最初)

(長文です。長いので六分割しました。)

【双子素数が無限にある事を示す証明トライです。
問題自体は未解決問題ですが
下記考察は平易なのでこちらにアップします。】

f1(a,b)=6ab-a-b
f2(a,b)=6ab+a-b
f3(a,b)=6ab+a+b

とおく。(a,b:自然数)


※先に用語の定義※

双子素数の「核数」とは(6x-1,6x+1)が双子素数に
なるような自然数xの事とする。
((3,5)を唯一の例外として双子素数は
全てその形をしている)
そうならない自然数の事を双子素数の「非核数」と
呼ぶ事にする。

/************************************************/
xが双子素数の「非核数」の時xは
f1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれかで表せる

xが双子素数の「核数」の時xは
f1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれでも表せない

xがf1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれかで表せる時
xは双子素数の「非核数」である

xがf1(a,b),f2(a,b),f3(a,b)のいずれでも表せない時
xは双子素数の「核数」である

(この部分は以前の発言で示しました。
必要があれば証明を再掲します。)
/************************************************/


/*----------------------------------------------*/
今、双子素数が有限組しか存在しないと仮定する。
/*----------------------------------------------*/

そうするとある自然数n0を1つとってA=fx(a,b)≧n0なる
全ての自然数A=fx(a,b)に対して

/*******************************************************************/
A≧3かつ(A≡0(mod.5)またはA≡3(mod.5))
A≧5かつ(A≡0(mod.7)またはA≡5(mod.7))
A≧8かつ(A≡1(mod.11)またはA≡8(mod.11))
A≧10かつ(A≡1(mod.13)またはA≡10(mod.13))
A≧13かつ(A≡2(mod.17)またはA≡13(mod.17))
A≧15かつ(A≡2(mod.19)またはA≡15(mod.19))
A≧18かつ(A≡3(mod.23)またはA≡18(mod.23))
A≧20かつ(A≡3(mod.25)またはA≡20(mod.25))
...
A≧5m-2かつ(A≡m-1(mod.6m-1)またはA≡5m-2(mod.6m-1))
A≧5mかつ(A≡m-1(mod.6m+1)またはA≡5m(mod.6m+1))
...
(1≦自然数m<∞)

のいずれかが成り立つようにできる。
/********************************************************************/

(これが成り立つ時にA+1が双子素数の非核数になる事の証明は下記各考察参照)

A=fx(a,b)≧n0
A=fx(a,b)≧5m2(A)-2,5m4(A)
とすると

A=(6m1(A)-1)s1(A)+(m1(A)-1)...[A011]
A=(6m2(A)-1)s2(A)+(5m2(A)-2)..[A012]
A=(6m3(A)+1)s3(A)+(m3(A)-1)...[A013]
A=(6m4(A)+1)s4(A)+(5m4(A))....[A014]

の四式のいずれかが成り立つように
自然数m1(A),m2(A),m3(A),m4(A),
自然数s1(A),s3(A),
非負整数s2(A),s4(A)がとれる。

##################################################

(続く)
(社会人/質問者)

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