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61177.Re: 近大コンテスト 方程式の問題  
名前:d3    日付:2018年12月11日(火) 5時39分
ITさん,ありがとうございました.

5chでは,次のように,アドバイスがありました.
考えている問題は,この問題の一部だ
ここを見よ
というようなレスでした.

320132人目の素数さん2018/12/07(金) 06:18:37.76ID:tc+suZZS>>395>>396
>>317
f(z) = z^n + ax^{n-1} + az + 1 = Q(z) + P(z),
 P(z) = az + 1,
 Q(z) = z^n + az^{n-1},
とおく。
仮定 |a| <1 から |z| <1 ⇒  P(z) ≠ 0,
また、|z|=1 上では |P(z)| = |a+1| = |Q(z)|,
定理 2.1  |z| <1 ⇒ |P(z)| > |Q(z)| ⇒ f(z) ≠ 0.
ここで |Q(z)/P(z)| に「最大値の原理」を適用する。(実は避けたい…)
(* Ahlfors の p.134 を参照)
ところで、f(z) は自己相反だったから
 z^n f(1/z) = f(z)
 f(1/α) = 0  ⇔  f(α) = 0,
単位円の内部にある f(z) の根と単位円の外部にある f(z) の根が1対1に対応する。
これと 定理 2.1 から、f(z) は単位円の内部にも外部にも根を持たない。
つまり f(z) の根はすべて単位円周上にある。

知念: KU-RIMS講究録 (2009/Oct)
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/141059/1/1665-03.pdf

321132人目の素数さん2018/12/07(金) 06:31:11.40ID:tc+suZZS>>395>>396

>>317
〔Enestrom-掛谷の定理〕
http://suseum.jp/gq/question/2869 (アンドロメダ氏)

自分の解答について正しいかどうかを聞けなかったので,
こちらで伺うことにしました.

ありがとうございました.
(社会人/質問者)
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61132.Re: 近大コンテスト 方程式の問題  
名前:IT    日付:2018年12月9日(日) 9時12分
良いと思います。
5ch(2ch)では どんな意見がありましたか?
なお、昔の近代コンテストでは、「代数学の基本定理」が成り立つことを問題側で明記してますね。
17回 A-5 など
http://www.math.kindai.ac.jp/index.php?id=84

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61129.Re: 近大コンテスト 方程式の問題  
名前:d3    日付:2018年12月9日(日) 5時12分
ITさん,
レスをありがとうございます.

明言しろという意図が読めていませんでした.
すみません.

かき直しました.

z=w^2とおく.w≠0から
  w^(2n)+aw^(2n−2)+aw^2+1=0
  w^n+aw^(n−2)+aw^(2−n)+w^(−n)=0
これの解がすべて複素平面上の円|z|=1上にあることを示せばいい.

f(θ)=cosnθ+acos(n−2)θ (0≦θ≦π)を考えると,
f(kπ/n)=(−1)^k+acos((n−2)π/n)
|a|<1なので,
kが奇数のとき負の値をとり,偶数のとき正の値をとる.
k=1,2,…,nの,区間((k−1)π/n,kπ/n))で符号を変えるので,
「中間値の定理」から,
各区間に1つずつf(θ)=0をみたすものをとることができる.

それらを,α_1,α_2,…,α_n (0<α_1<α_2<…<α_n<π)
とすると,w=cosα_k+isinα_kについて,
  w^n+aw^(n−2)+aw^(2−n)+w^(−n)=2f(α_k)=0.
w^(2n)+aw^(2n−2)+aw^2+1=0の解になる.

さらに,実数係数の方程式なので,
w=cosα_k+isinα_kが解なら,複素共役なものも解になるので,
cosα_1+isinα_1,cosα_2+isinα_2,…,cosα_n+isinα_n
cosα_1−isinα_1,cosα_2−isinα_2,…,cosα_n−isinα_n
2n個全部が解になり,これら2n個はことごとく異なる.

「代数学の基本定理」から,
2n次の方程式なので重複を込めて解の個数は2n個である。
よって,上の2n個が,この方程式の解すべてになっている.
そして,この2n個すべてが,複素平面上の円|z|=1上にある.
以上から,証明された.  □□

いかがでしょうか?
(社会人/質問者)
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61128.Re: 近大コンテスト 方程式の問題  
名前:IT    日付:2018年12月8日(土) 19時18分
> 「代数学の基本定理」は「教科書」では「知られている」とあるので,
> 証明はなしで使っていいということになっていると判断しています.

証明は不要だと思いますが、使った「事実」は明記(例えば下記のように)すべきと思います。

「w^(2n)+aw^(2n−2)+aw^2+1=0は2n次の方程式なので重複を込めて解の個数は2n個である。」

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61126.Re: 近大コンテスト 方程式の問題  
名前:d3    日付:2018年12月8日(土) 17時6分
レスをありがとうございます.

言葉が足らなかったかもしれません.
すみません.

α_1,α_2,…,α_n (0<α_1<α_2<…<α_n<π)
から,k=1,2,…,nに対する
cosα_1+isinα_1,cosα_2+isinα_2,…,cosα_n+isinα_n
はすべて異なり,さらに,
cosα_1−isinα_1,cosα_2−isinα_2,…,cosα_n−isinα_n
もすべて異なり,都合全部2n個がことごとく異なる.

「代数学の基本定理」は「教科書」では「知られている」とあるので,
証明はなしで使っていいということになっていると判断しています.

いかがでしょうか?
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61124.Re: 近大コンテスト 方程式の問題  
名前:IT    日付:2018年12月8日(土) 15時11分
「代数学の基本定理」を使っておられるのなら、そのことを明言したほうが良いのでは?
ただ「代数学の基本定理」を使うと高校の内容から外れますね、
複素係数の1変数n次方程式の解の個数がn個以下であることは「代数学の基本定理」よりは簡単に示せますね。

>   w^n+aw^(n−2)+aw^(2−n)+w^(−n)=2f(α_k)=0.
> ここで,α_kとこの複素共役なものは,すべて異なっていて,全部で2n個.
「α_kとこの複素共役なもの」という表現はおかしいのでは?


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61121.近大コンテスト 方程式の問題  
名前:d3    日付:2018年12月8日(土) 4時13分
今年の近大の数学コンテストの問題に関するものなのですが,
アドバイスをください.
次のような問題です:

nを3以上の自然数,定数aを|a|<1をみたす実数とする.
  z^n+az^(n−1)+az+1=0
この方程式の解はすべて複素平面上の円|z|=1上にあることを示せ.

以下のように考えました.

z=w^2とおく.w≠0から
  w^(2n)+aw^(2n−2)+aw^2+1=0
  w^n+aw^(n−2)+aw^(2−n)+w^(−n)=0
これの解がすべて複素平面上の円|z|=1上にあることを示せばいい.

f(θ)=cosnθ+acos(n−2)θ (0≦θ≦π)を考えると,
f(kπ/n)=(−1)^k+acos((n−2)π/n)
kが奇数のとき負の値をとり,偶数のとき正の値をとる.
k=1,2,…,nの,区間((k−1)π/n,kπ/n))で符号を変えるので,
各区間に1つずつf(θ)=0をみたすものをとることができる.
α_1,α_2,…,α_n (0<α_1<α_2<…<α_n<π)
とすると,w=cosα_k+isinα_kについて,
  w^n+aw^(n−2)+aw^(2−n)+w^(−n)=2f(α_k)=0.
ここで,α_kとこの複素共役なものは,すべて異なっていて,全部で2n個.
  w^(2n)+aw^(2n−2)+aw^2+1=0
この方程式の解すべてになっていて,
すべて複素平面上の円|z|=1上にある. □□

これで解決しているでしょうか?
いかがでしょう?

なお,5ch(2ch)で伺ったのですが,
この考え方が正しいのか気になったもので,
こちらでも伺いたいと思います.
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