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61168.Re: 東工大2016 整数問題 添削をお願いします  
名前:liquid1224    日付:2018年12月10日(月) 20時58分
>> 自然数pqは(n-1)!を展開したときに含まれる。>n=pqのときはダメですね?
そこも見落としてしまっていました...。ありがとうございます。その場合も考慮して別途記述するなり書き直すなりしなければなりませんね。

何度もご指摘くださりありがとうございました。問題点がかなり明瞭になったので、一旦解決済みとさせていただきます。
また別件で現れることもありましょうが、そのときも何卒よろしくお願いします!
ありがとうございました。
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61161.Re: 東工大2016 整数問題 添削をお願いします  
名前:IT    日付:2018年12月10日(月) 19時8分
> n≧p^q≧pq
> 自然数pqは(n-1)!を展開したときに含まれる。
 n=pqのときはダメですね?

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61160.Re: 東工大2016 整数問題 添削をお願いします  
名前:IT    日付:2018年12月10日(月) 19時1分
>>後半の不等式は証明が必要では?
>たしかにそう思います。やはりそこは端折ってはいけないのですね。
問題の難易度によっては明らかと考えて証明しないこともあり得るとは思います。
私は明らかとは感じませんでした。


>それとも単に書き方の問題でしょうか?

書き方の問題です。
「nの素因数はすべて(n-1)!の素因数である」といったとき
それぞれの素因数の指数の大小関係までは言ったことにはならないと思います。

例えば (2^3)*(3^5) の素因数は2と3 です。

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61159.Re: 東工大2016 整数問題 添削をお願いします  
名前:liquid1224    日付:2018年12月10日(月) 18時46分
ありがとうございます。
>後半の不等式は証明が必要では?
たしかにそう思います。やはりそこは端折ってはいけないのですね。

>> nの素因数はすべて(n-1)!の素因数である。> よって(n-1)!はnで割り切れる。ここはおかしいのでは?
nの素因数pが何種類かあって、それぞれがいくつか(q)あり、
(n-1)!はpをq個以上持つから割り切れる、というふうに考えたのですが、それが行けないということでしょうか?
それとも単に書き方の問題でしょうか?

よろしくお願いいたします。
(大学受験生/質問者)
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61158.Re: 東工大2016 整数問題 添削をお願いします  
名前:IT    日付:2018年12月10日(月) 18時25分
> n≧p^q≧pq が成り立つので
後半の不等式は証明が必要では?

> nの素因数はすべて(n-1)!の素因数である。
> よって(n-1)!はnで割り切れる。
ここはおかしいのでは?

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61156.東工大2016 整数問題 添削をお願いします  
名前:liquid1224    日付:2018年12月10日(月) 17時59分
(2)だけお願いします。
特に(b)の証明が、書いていてもかなり苦しいと思い、質問させていただきました。
よろしくおねがいします。

問題
nを2以上の自然数とする
(1)nが素数または4のとき、(n-1)!はnで割り切れないことを示せ。
(2)nが素数でなくかつ4でもないとき、(n-1)!はnで割り切れることを示せ。

解答
(1)略
(2)nが素数でも4でもないとき、
nは6以上の偶数、または素数でない奇数である。

(a)nが6以上の偶数のとき
n=2k (k=3,4,5...)と表せる。
(@)k=3のとき
n=6なので(6-1)!=5*4*3*2*1
これは6で割り切れる。
(A)k=l(l=3,4,5...)のとき
n=2l
(2l-1)!が2lで割り切れると仮定すると、
(2l-1)!は少なくとも2をl個、素因数として持つ。
この下で、k=l+1のとき、
n=2(l+1)
よって
(2l+1)!
=(2l+1)*(2l)*(2l-1)!
これは少なくとも2をl+1個、素因数として持つので、2(l+1)で割り切れる。
よってnが6以上の偶数なら(n-1)!はnで割り切れる。

(b)nが素数でない奇数のとき
nはいくつかの素因数の積で表され、その素因数はすべて奇数である。
ここで、nのある素因数pがq個含まれるとすると、
n≧p^q≧pq
が成り立つので、
自然数pqは(n-1)!を展開したときに含まれる。
すなわち、
(n-1)!=(n-1)*(n-2)*...*(pq)*...*(p(q-1))*...*...*p*...*2*1
つまり、(n-1)!はpの倍数を少なくともq種類かけ合わせた数なので、
素因数pを少なくともq個持つ。
このことがnのすべての素因数に対して言えるので、
nの素因数はすべて(n-1)!の素因数である。
よって(n-1)!はnで割り切れる。

したがってnが素数でも4でも無いとき、
(n-1)!はnで割り切れる。
(証明終)
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