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61632.Re: 理系模試  
名前:趣味太郎    日付:2019年1月31日(木) 0時4分
とても丁寧な解答ありがとうございます。
理解できました。
(数学愛好者/質問者)
proxybg027.docomo.ne.jp (124.146.175.109)
DoCoMo/2.0 N01E(c500;TB;W30H20)

61625.Re: 理系模試  
名前:X    日付:2019年1月30日(水) 19時22分
(1)は趣味太郎さんの答えで正解です。

(2)
t=(cosx)/sinx (A)
と置くと(1)の結果から
dt=-dx/(sinx)^2 (B)
また(A)と
(sinx)^2+(cosx)^2=1
により
(1+t^2)(sinx)^2=1
∴1/(sinx)^2=1+t^2
これと(B)より
dx=-dt/(1+t^2)
このとき
x:a→π/2

t:(cosa)/sina→0
が対応するので
I[n](a)=-∫[(cosa)/sina→0]{{(1+t^2)^n}/(1+t^2)}dt
=∫[0→(cosa)/sina]{(1+t^2)^(n-1)}dt
=∫[0→(cosa)/sina]Σ[k=0〜n-1]{(n-1)Ck}{t^(2k)}dt (∵)二項定理
=Σ[k=0〜n-1]{(n-1)Ck}∫[0→(cosa)/sina]{t^(2k)}dt
=Σ[k=0〜n-1]{(n-1)Ck}{1/(2k+1)}{(cosa)/sina}^(2k+1)


(3)
(2)の結果より
{a^(2n-1)}I[n](a)=Σ[k=0〜n-1]{a^(2n-1-(2k+1))}{(n-1)Ck}{1/(2k+1)}{(cosa)/{(sina)/a}}^(2k+1)
=Σ[k=0〜n-1]{a^(2(n-k-1))}{(n-1)Ck}{1/(2k+1)}{(cosa)/{(sina)/a}}^(2k+1)
=Σ[k=0〜n-2]{a^(2(n-k-1))}{(n-1)Ck}{1/(2k+1)}{(cosa)/{(sina)/a}}^(2k+1)
+{(n-1)C(n-1)}{1/(2(n-1)+1)}{(cosa)/{(sina)/a}}^(2(n-1)+1)
=Σ[k=0〜n-2]{a^(2(n-k-1))}{(n-1)Ck}{1/(2k+1)}{(cosa)/{(sina)/a}}^(2k+1)
+{1/(2n-1)}{(cosa)/{(sina)/a}}^(2n-1)
∴lim[a→+0]{a^(2n-1)}I[n](a)=1/(2n-1)
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61583.理系模試  
名前:趣味太郎    日付:2019年1月28日(月) 21時52分
aは 0<a<π/2 を満たす実数とし、2以上の自然数nに対して、
I_n(a)=∫[a,π/2]1/sin^2n(x)dx
とおく。

(1) cos(x)/sin(x) の導関数を求めよ。

(2) cos(x)/sin(x)=t と置換することにより、
I_n(a)=納k=0,n-1]((n-1)_C_k)*1/(2k+1)*(cos(x)/sin(x))^(2k+1) (n=2,3,4,・・・)
が成り立つことを示せ。

(3) 極限値 lim[a→+0]a^(2n-1)*I_n(a) をnの式で表せ。

この問題の(1)は解るので、解説不要なんですが、(2),(3)の解説または解法の方針を教えていただきたいです。
ちなみに、(1)の解答は-1/sin^2(x)になりました。
(数学愛好者/質問者)

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