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61685.Re: 数学A 整数  
名前:    日付:2019年2月10日(日) 3時27分
20個の数字のうち、最低でも13個の「2個の整数の和」が、他の「2個の整数の和」と等しいとなると、必ずその13個は自然に
a+d=b+c(a<b<c<d)を満たすということですね!

とても納得しました!

細かい内容でしたが、付き合っていただいて本当にありがとうございました。
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61684.Re: 数学A 整数  
名前:らすかる    日付:2019年2月10日(日) 1時4分
なるほど、4の理由はわかりました。

177の方が良い理由は、
「-4」のような調整をせずに単純明快な考え方で済むからです。
(もし「-4」をするとしたら解答でその説明が要ります。)
2個の組合せが20C2=190通りできるのは確かですし、
2個の和が177通りあるのも確かです。
この二つの値から、ただちに
「組合せの方が多いから必ず重複がある」と言えますので
解答が簡潔になります。
端の方は2通りできないなどという
細かいことに言及する必要もありません。

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61683.Re: 数学A 整数  
名前:    日付:2019年2月10日(日) 0時34分
ご回答ありがとうございます!
4には根拠があるつもりです。
小さい方から20個の数字を並べたとき、端の数と端から二番目の数の組、端の数と端から三番目の数の組(端は二つあるので計4個、)はa+d=b+c(a<b<c<d)の条件を守らないものとなります。これらを173通りのものと比べられないものと見て190通りから省いておく、という発想です。


数字の小さいものから並べて15,23,29,35,54……(計二十個)という場合、
15+23と15+29はa+d,b+cに当てはまらない。これと大きいほうの端の方以外はすべて当てはまる。

加えて純粋に疑問があるのですが、「173通り」の方は、a+d=b+c(a<b<c<d)の存在を確かめるために、どちらかというと177通りとするよりは190-4=186通りと173通りを比べる方が良いと思っているのですが、どうでしょうか。

お手数ですが、173の方を合わせる方が良い理由をお伺いしたいです。
なんとなく煽っているような文書になって申し訳ないのですが、本当にご回答いただけて感謝しております。
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61682.Re: 数学A 整数  
名前:らすかる    日付:2019年2月10日(日) 0時9分
> 同じ条件にする必要があると考えます。

その通りだと思います。参考書の答えが良くないですね。
この問題の場合は、20C2=190はそのままで
2桁の整数の和の最小値は10+11=21、最大値は98+99=197だから
和は177通り、よって190>177なので(以下略)
で十分だと思います。

# 190-4=186という気持ちはわかりますが、
# 引く値が4で良いかどうかは微妙なので、
# (この問題の場合は)引かずに173の方を
# 合わせる方が良いと思います。

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61681.数学A 整数  
名前:    日付:2019年2月9日(土) 23時34分
参考書の問題です。
「2桁の整数から任意の20個を選ぶとき、この中にa+d=b+cであるようなa,b,c,d(a<b<c<d)が存在することを示せ。」
参考書の答え
「任意の20個の2桁の整数から2個を取り出して、その和を求めるとすると、
20 C 2=190
より、2個の2桁の整数の組み合わせは190通りある。
ここで、a<b<c<dより、2桁の整数の和a+d,b+cの最小値は、
10+13=11+12=23
最大値は、
96+99=97+98=195
であるから、2桁の整数の和の値は、
195-23+1=173
より、173通りである。
 したがって、2個の2桁の整数の組み合わせ190通りは、173通りある2桁の整数の和の値のいずれかをとるので、少なくとも同じ値が2つは存在する。
 よって、a+d=b+cであるような、a,b,c,d(a<b<c<d)が存在する。」

問題の解説に、20 C 2=190とありますが、最終的に証明にもっていくには190-4=186としてから「2個の2桁の整数の組み合わせ186通りは、173通りのいずれかをとるので、少なくとも同じ値が2つは存在する。」とすべきではないでしょうか。

20 C 2=190の計算だけではa+d=b+c(a<b<c<d)の条件を満たせません。173通りと比べて部屋割論法(鳩ノ巣原理)を行うには190通りの方も必ず同じ条件にする必要があると考えます。

この解法のままでは『12〜99の整数から任意の19個を選ぶとき、この中にa+d=b+c(a<b<c<d)が存在することを示せ』という問題の場合に実際に弊害が起こると考えます。
※この問題では、この参考書の考え方通りに解こうとすると、反例(極めて厳密なものではないが)があるのに最後まで「よって題意は示された」と書くことになってしまいます。
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