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61773.Re: x(logx-logy)>x-y(x>y>0)の証明  
名前:曲線のショコラ    日付:2019年2月17日(日) 17時23分
らすかるさん、ありがとうございました。
疑問が完全に解決しました!

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61772.Re: x(logx-logy)>x-y(x>y>0)の証明  
名前:らすかる    日付:2019年2月17日(日) 17時20分
ごめんなさい、教科書でそのように書いてあるならば
「よって,f(x)はx≧yにおいて,単調に増加する。」で問題ないです。
開区間(a,b)で常にf'(x)>0ならば、f(x)は閉区間[a,b]で狭義単調増加です。

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61771.Re: x(logx-logy)>x-y(x>y>0)の証明  
名前:曲線のショコラ    日付:2019年2月17日(日) 16時49分
らすかるさん、ご指摘ありがとうございます。

私は普段、数研出版の教科書を使用しているのですが、
数研の教科書では、単調増加について次のように説明しています。

開区間 (a, b) で常に f'(x)>0 ならば
f(x) は閉区間 [a, b] で単調に増加する。・・・(*)

このことから、最初、「f(x)はx≧yにおいて,単調に増加する。」
と「=」を入れました。

ちなみに、(*)は単調増加を「広義単調増加」として捉えた場合の
定理で、単調増加を「狭義単調増加」と捉えた場合は、
「f(x)はx>yにおいて,単調に増加する。」のように「=」は
とるべきであると私は解釈したのですがこれは間違っていますか?

よろしくお願いいたします。




(社会人/質問者)

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61714.Re: x(logx-logy)>x-y(x>y>0)の証明  
名前:らすかる    日付:2019年2月13日(水) 21時30分
> f(x)=x(logx-loga)-x+aのグラフを描かせて
> みたところ,0<x<aの範囲では,単調減少に
> なっているように思いました。

問題の条件はx>y>0なので
y=aとしたのであれば0<a<xです。
「よって,f(x)はx>0で単調に増加する。」
もx>y>0すなわち0<a<xを条件としています。
従って0<x<aの範囲でどうなろうと関係ありません。

また「解答(再)」はほぼ問題ないと思いますが、
「f(x)はx≧yにおいて,単調に増加する。」は
「f(x)はx>yにおいて,単調に増加する。」とした方が良いと思います。
(x=yではf'(x)=0なので「増加」と言えないため)

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61713.Re: x(logx-logy)>x-y(x>y>0)の証明  
名前:曲線のショコラ    日付:2019年2月13日(水) 21時16分
Xさん,らすかるさん,ありがとうございます。
返信が遅くなってしまい申し訳ありません。

Xさん,指摘されて論理の飛躍に気づきました。
ありがとうございます。

らすかるさん,解答を読んでなるほどと思いました。
ありがとうございます。

ところで,yを定数aと考え,Grapesに
f(x)=x(logx-loga)-x+aのグラフを描かせて
みたところ,0<x<aの範囲では,単調減少に
なっているように思いました。つまり,
私が最初に作成した解答の

>よって,f(x)はx>0で単調に増加する。

は少し違うのかなと思いましたが私の勘違いでしょうか?

また,似たような問題を別の参考書で見つけ,再度,解答を作って
みたのですが,よかったら,ご確認頂けたらと思っています。

【解答(再)】
f(x)=x(logx-logy)-(x-y)とおく。
(yはy>0を満たすの任意の定数)
このとき,x>yを満たす,すべてのxに対して,
f(x)>0を示す。

f'(x)=log(x/y)

x>y>0より,x/y>1であるから,f'(x)>0

よって,f(x)はx≧yにおいて,単調に増加する。
このことと,f(y)=0から,x>yのとき,f(x)>0

したがって,x(logx-logy)>x-y
(社会人/質問者)

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61691.Re: x(logx-logy)>x-y(x>y>0)の証明  
名前:らすかる    日付:2019年2月11日(月) 19時37分
別解は必要ないかも知れませんが、
以下のようにすると綺麗だと思います。

t=x/yとすると
{x(logx-logy)-x+y}/y
=(x/y)log(x/y)-x/y+1
=tlogt-t+1
f(t)=tlogt-t+1とおくとf(1)=0であり
t>1のときf'(t)=logt>0からf(t)>0
∴x(logx-logy)-x+y=yf(t)>0から
x(logx-logy)>x-y

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61689.Re: x(logx-logy)>x-y(x>y>0)の証明  
名前:X    日付:2019年2月11日(月) 18時2分
yを定数と考えても問題ありません。

但し、ご質問の内容とは異なりますが
解答の中で
f(x)がx>0で単調増加

だからといって

x>0においてf(x)>0

は論理が飛躍しすぎです。
きちんと間を埋めましょう。

f(x)はx>0で単調増加
∴f(x)>lim[x→+0]f(x)
ここで
f(x)=xlog(x/y)-x+y>xlog1-x+y=-x+y
((∵)x>y>0よりx/y>1)
∴f(x)>lim[x→+0](-x+y)
さて
x>y>0
とはさみうちの原理により
lim[x→+0]y=0
∴f(x)>0
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61688.x(logx-logy)>x-y(x>y>0)の証明  
名前:曲線のショコラ    日付:2019年2月11日(月) 17時14分
【問題】
すべての正の数x,y(x>y)に対して,
不等式x(logx-logy)>x-yが成り立つ
ことを証明せよ。(logxは自然対数)
----------------------------------------------------
模範解答は平均値の定理を利用して証明しています。

以下の解答でもよいか、完全に不完全な解答か、
修正すれば問題ない解答か(修正すればよい場合
どのように修正すればよいかも教えて頂けると
助かります)を教えて頂けませんか。
よろしくお願い致します。

【解答?】
f(x)=x(logx-logy)-(x-y)とおく。
yを定数と考え,xで微分すると
f´(x)=logx-logy=log(x/y)
x>y>0であるから,f´(x)>0
よって,f(x)はx>0で単調に増加する。
ゆえに,f(x)>0
したがって,
x(logx-logy)-(x-y)>0
∴x(logx-logy)>x-y(証明終)
---------------------------------------------------
※「yを定数と考え,xで微分すると」の部分が
 気になります。yは変数だと思うのですが,定数と
 捉えて上のような解答を作ってもよいものでしょうか?
(社会人/質問者)

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