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61744.Re: 円に内接する三角形の面積の最大値  
名前:らすかる    日付:2019年2月15日(金) 15時9分
O,QからAPに垂線OC,QDを下ろし、OからQDに垂線OEを下ろすと
∠EQO=90°-∠PQD=∠DPQ=θなのでEQ=rcos∠EQO=rcosθ
またDQ=asinθなのでOC=ED=|DQ-EQ|=|asinθ-rcosθ|
従ってBC=√(OB^2-OC^2)=√{r^2-(asinθ-rcosθ)^2}なので
AB=2√{r^2-(asinθ-rcosθ)^2}
よって△ABQ=AB×QD÷2=(asinθ)√{r^2-(asinθ-rcosθ)^2}
f(θ)=(△ABQ)^2=a^2(r^2-a^2)(sinθ)^4+2a^3r(sinθ)^3cosθとおいて
微分して増減を調べると、最大値をとるθは
θ=arccos{{(a^2-r^2)√(a^4+a^2r^2+r^4)-2a^2r^2}/(a^2+r^2)^2}/2
これより
cos2θ={(a^2-r^2)√(a^4+a^2r^2+r^4)-2a^2r^2}/(a^2+r^2)^2
sin2θ=ar{a^2-r^2+2√(a^4+a^2r^2+r^4)}/(a^2+r^2)^2
なので、(△ABQ)^2をsin2θとcos2θで表して代入し整理すると
(△ABQ)^2=a^2(r^2-a^2)(sinθ)^4+2a^3r(sinθ)^3cosθ
=a^2{(r^2-a^2)(1-cos2θ)^2+2arsin2θ(1-cos2θ)}/4
=a^2{2(a^4+a^2r^2+r^4)^(3/2)-(a^2-r^2)(a^2+2r^2)(2a^2+r^2)}/{4(a^2+r^2)^2}
∴S=△ABQ
=a√{2(a^4+a^2r^2+r^4)^(3/2)-(a^2-r^2)(a^2+2r^2)(2a^2+r^2)}/{2(a^2+r^2)}
=a√{2(a^4+a^2r^2+r^4)^(3/2)-(2a^6+3a^4r^2-3a^2r^4-2r^6)}/{2(a^2+r^2)}

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61740.Re: 円に内接する三角形の面積の最大値  
名前:アッちゃん    日付:2019年2月15日(金) 14時1分
らすかるさんのご指摘通り私の問題文には曖昧性があり、No.61715の問題設定が正しいです。ただし、どのようにして最大値を求めることができたかは私には理解できませんでした。素晴らしいです。式が複雑でテキストで書きにくかったので、かきませんでしたが、導出の仕方だけでもご教示頂けますと幸いです。
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61715.Re: 円に内接する三角形の面積の最大値  
名前:らすかる    日付:2019年2月14日(木) 8時52分
もし問題が
円Oが直線PQに点Qで接し、点Pを通り円Oと異なる2点A,Bで交わる直線があるとき、
△ABQの面積の最大値Sを円Oの半径rとPQ=aで表せ。
ならば、答えは
S=a√{2(a^4+a^2r^2+r^4)^(3/2)-(2a^6+3a^4r^2-3a^2r^4-2r^6)}/{2(a^2+r^2)}
となります。

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61711.Re: 円に内接する三角形の面積の最大値  
名前:らすかる    日付:2019年2月13日(水) 7時2分
「点Pから円Oにひいた接線の交点」とはどういう意味ですか?
接線は2本引けますが、その2本の交点だとすると
点Pと同じになってしまいますので違いますよね。
もしかして、点Pから円Oに接線を1本引いたときの接点という意味ですか?

あと、Sをr,aを用いて表した式はどうなりましたか?

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61710.円に内接する三角形の面積の最大値  
名前:アッちゃん    日付:2019年2月13日(水) 6時33分
どなたか、下記の図形の問題が解ける方いらっしゃいませんか?

半径rの円Oと、円Oの外部に定点Pがある。点Pから円Oにひいた
接線の交点をQとし、点Pから円に向かって異なる2点で
交わるように直線をひき、その2つの交点を
点Pから遠い順にA、Bとする。角度APQ=θ、PQ=aとするとき、
△ABQの面積Sの最大値をr、aを用いて表したい。

Sをr、aを用いて表すことができましたが、
微分すると複雑になりすぎて失敗しました。
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