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DS 数学 BBS
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61829.Re: 角度  
名前:らすかる    日付:2019年2月22日(金) 11時43分
a>1ならば、∠ACBはaが1に近いほど大きくなりますので、最大値は存在しません。

# aは最初に聞いた時は実数全体だったのに、なぜ後から変わるのですか?
# 今回も「最大値は存在しない」という普通ではない結果なので
# まだ何か本当の問題と違うのだろうと思いますが、
# 問題文は改変・省略することなく、一字一句そのままを書いて下さい。

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61825.Re: 角度  
名前:    日付:2019年2月22日(金) 10時29分
すみません。
φは0から90度、aは1より大きい実数です。
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61823.Re: 角度  
名前:らすかる    日付:2019年2月22日(金) 10時4分
aを変化させたときの∠ACBの最大値ですか?
それならば、最大値は明らかにa=0のときつまりCが原点のときなので、
計算するまでもなく(∠ACBの最大値)=∠AOB=arccos(-cos2θ)です。

# もしそういう設定ならC(-a,0)とか全く意味がなく、
# 単にA(-cosθ,sinθ),B(cosθ,sinθ),O(0,0)のときの
# ∠AOBを求める問題にすぎませんが、
# 本当にそういう問題なのですか?

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61822.Re: 角度  
名前:    日付:2019年2月22日(金) 9時45分
aを変化させた時のθの値を知りたいのです。
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61821.Re: 角度  
名前:らすかる    日付:2019年2月22日(金) 9時43分
まず質問に答えて下さい。
何を変化させたときの∠ACBの最大値ですか?
(何が変数で何が定数ですか?)

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61818.Re: 角度  
名前:    日付:2019年2月22日(金) 9時37分
θでの表し方をお願い致します。
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61817.Re: 角度  
名前:らすかる    日付:2019年2月22日(金) 9時18分
θを変化させたときの∠ACBの最大値ではないのですか?
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61814.Re: 角度  
名前:    日付:2019年2月22日(金) 9時6分
ご回答ありがとうございます。
最大値をθで表すと、どうなりますか?
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61813.Re: 角度  
名前:らすかる    日付:2019年2月22日(金) 8時57分
aが実数全体ならC=(-a,0)とマイナスを付ける意味がありませんので
何か条件があるのではないかと思いますが、
もしaもθも実数全体ならば

|a|<1のとき
明らかにθ=nπのとき∠ACB=πで最大
|a|=1のとき
θ→nπのとき∠ACB→π/2だが
θ=nπのとき∠ACBは定義できず、
それ以外のとき∠ACB<π/2なので
最大値は存在しない。
|a|>1のとき
AB=2cosθ、AC=√{(cosθ-a)^2+(sinθ)^2}=√(a^2+1-2acosθ)、
BC=√{(cosθ+a)^2+(sinθ)^2}=√(a^2+1+2acosθ)なので
余弦定理から
cos∠ACB={(a^2+1-2acosθ)+(a^2+1+2acosθ)-(2cosθ)^2}
 /{2√(a^2+1-2acosθ)√(a^2+1+2acosθ)}
={a^2+(1-2(cosθ)^2)}/√{a^4+1+2a^2(1-2(cosθ)^2)}
t=1-2(cosθ)^2=-cos2θとおくと
cos∠ACB=(a^2+t)/√(a^4+1+2a^2t)
(cos∠ACB)^2=(a^2+t)^2/(a^4+1+2a^2t)
f(t)=(a^2+t)^2/(a^4+1+2a^2t)とおくと
f'(t)={2(a^2+t)(a^4+1+2a^2t)-2a^2(a^2+t)^2}/(a^4+1+2a^2t)^2
=2(a^2t+1)(t+a^2)/(a^4+1+2a^2t)^2
-a^2<-1<-1/a^2<0,-1≦t≦1また
|a|>1かつ-1≦t≦1のとき(分母)>0なので
f(t)はt=-1/a^2のとき最小
つまり(cos∠ACB)^2はt=-1/a^2のとき最小なので
∠ACBはt=-1/a^2のとき最大(∵∠ACB<π/2)
このとき
cos∠ACB=(a^2+t)/√(a^4+1+2a^2t)
=(a^2-1/a^2)/√(a^4-1)
=√(1-1/a^4)
∴cos(2∠ACB)=1-2/a^4
従って∠ACBの最大値は
|a|<1のときπ
|a|=1のとき存在しない
|a|>1のときarccos(1-2/a^4)/2

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61812.Re: 角度  
名前:    日付:2019年2月22日(金) 8時33分
その条件なら、どうなりますか?
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61811.Re: 角度  
名前:    日付:2019年2月22日(金) 7時46分
はい、そうです。
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61809.Re: 角度  
名前:らすかる    日付:2019年2月22日(金) 6時56分
aも実数全体ですか?
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61808.Re: 角度  
名前:    日付:2019年2月22日(金) 6時52分
はい、そうです。
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61806.Re: 角度  
名前:らすかる    日付:2019年2月21日(木) 20時14分
θの範囲は実数全体ですか?
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61805.角度  
名前:    日付:2019年2月21日(木) 18時59分
A=(-cosθ、sinθ)、B=(cosθ、sinθ)、C=(-a、0)。
∠ACBの求め方と、その最大値をθを用いての表し方を教えてください。
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