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62133.Re: 接平面の方程式  
名前:らすかる    日付:2019年3月13日(水) 23時25分
基本的なことですので、私が説明するよりも
「平面の方程式」を検索して理解された方が良いと思います。

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62132.Re: 接平面の方程式  
名前:みさき    日付:2019年3月13日(水) 23時24分
ありがとうございます。

>三次元空間上の一般の平面がpx+qy+rz=sと表される

それがよく理解できません。どういう仕組みなのでしょうか?
(数学愛好猫/質問者)

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62131.Re: 接平面の方程式  
名前:らすかる    日付:2019年3月13日(水) 23時22分
三次元空間上の一般の平面がpx+qy+rz=sと表されることはご存知ですよね?
(万一ご存じでなければ、非常に基本的なことですから「平面の方程式」を検索すればいろいろ出てきます。)
原点を通るときpx+qy+rz=0となり、
この平面を(a,b,f(a,b))平行移動すると
p(x-a)+q(y-b)+r(z-f(a,b))=0
すなわち
z-f(a,b)=(-p/r)(x-a)+(-q/r)(y-b) (※z=f(x,y)からr≠0)
となります。
定数-p/r,-q/rをあらためてp,qとおけば、
点(a,b,f(a,b))を通る平面が
z-f(a,b)=p(x-a)+q(y-b)
と表せることになりますね。

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62130.Re: 接平面の方程式  
名前:みさき    日付:2019年3月13日(水) 23時8分
ご回答ありがとうございます。

らすかるさん
>(a,b,f(a,b))を通る平面が
z-f(a,b)=p(x-a)+q(y-b)
と表される

ここが、まったく理解できません。
詳しく教えていただけるとうれしいです。


山旅人さん
>点 (a,b,f(a,b)) での,x 軸に平行な接ベクトル (Δx,0,(∂f/∂x)Δx) と y 軸に平行な接ベクトル (0,Δy,(∂f/∂y)Δy) が張る平面

その図形的なイメージは持てるのですが、そのイメージと、
z−f(a, b)={∂f(a, b)/∂x}(x−a)+{∂f(a, b)/∂y}(y−b)
の式をうまく結び付けて理解できないのです。何をどうすれば上のような式になるのでしょうか?


よろしくお願いします。
(数学愛好猫/質問者)

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62129.Re: 接平面の方程式  
名前:山旅人    日付:2019年3月13日(水) 22時14分
> 「平面の方程式」というところが理解できないのです。

そのようですね。
点 (a,b,f(a,b)) での,x 軸に平行な接ベクトル (Δx,0,(∂f/∂x)Δx) と y 軸に平行な接ベクトル (0,Δy,(∂f/∂y)Δy) が張る平面が接平面ですから。
与式がこのことを満たすことをご確認ください。
ところで,ご賢察のとおり,この図は以前本掲示板で “全微分” の説明のために描いた図です。
 
(数学愛好者)

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62128.Re: 接平面の方程式  
名前:らすかる    日付:2019年3月13日(水) 22時3分
(a,b,f(a,b))を通る平面が
z-f(a,b)=p(x-a)+q(y-b)
と表されるのはOKでしょうか。
この平面を平面x=aで切って出来る直線を考えると
z-f(a,b)=q(y-b)となり、平面上の直線の式からq=∂f(a,b)/∂y
また平面y=bで切って出来る直線を考えると
z-f(a,b)=p(x-a)となり、平面上の直線の式からp=∂f(a,b)/∂x
よって
z-f(a,b)={∂f(a,b)/∂x}(x-a)+{∂f(a,b)/∂y}(y-b)
となりますね。

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62127.Re: 接平面の方程式  
名前:みさき    日付:2019年3月13日(水) 21時47分
ありがとうございます。

しかし、図を見ても、なぜ接平面の方程式が

z−f(a, b)={∂f(a, b)/∂x}(x−a)+{∂f(a, b)/∂y}(y−b)

なのかが理解できません。

ちなみに、図において、

Δf=(∂f/∂x)Δx+(∂f/∂y)Δy

となることは理解しています。(そして、それを「全微分」ということも知ってます。)わたしはどちらかというと「平面の方程式」というところが理解できないのです。

よろしくお願いします。

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62126.Re: 接平面の方程式  
名前:山旅人    日付:2019年3月13日(水) 21時40分
Original Size: 385 x 334, 10KB

上の図でご理解くださいますでしょうか。
青い四辺形が接平面です。
 
(数学愛好者)

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62125.接平面の方程式  
名前:みさき    日付:2019年3月13日(水) 21時36分
y=f(x)上の点(a, f(a))における接線の方程式が、
y−f(a)=f'(a)(x−a)になるのは理解できるのですが、

z=f(x, y)上の点(a, b, f(a, b))における接平面の方程式が、
z−f(a, b)={∂f(a, b)/∂x}(x−a)+{∂f(a, b)/∂y}(y−b)になるのが理解できません。

上記「接平面の方程式」の導出過程を詳しく教えてください。
よろしくお願いします。
(数学愛好猫/質問者)

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