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62179.Re: 難しい整式の除法  
名前:みさき    日付:2019年3月15日(金) 17時42分
ありがとうございます!

商が0なら余りが割られる数になるのは納得です。
整式の場合は、数の場合の大小が次数の大小に相当するというのは、わたしには理解が難しいのですが、なんとなく納得です。

自然に思いつけるようになりたいと思いました。
(数学愛好猫/質問者)

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62178.Re: 難しい整式の除法  
名前:らすかる    日付:2019年3月15日(金) 17時9分
> >6をQ(x)で割った余りは6
> は、どうやったのですか?

例えば自然数の割り算で「6を100で割った余り」や「6を20190315で割った余り」を
考えると、どちらも商が0、余りは6になりますよね。
これと同様に、P(x)よりQ(x)の方が次数が大きい場合、
P(x)をQ(x)で割った余りは必ずP(x)になります(商が0なので)。
従って6をQ(x)で割った余りは、Q(x)が定数でない限り6となります。

> ちなみに、
> 「P(x)をQ(x)で割った余り」=「『P(x)をQ(x)R(x)で割った余り』をQ(x)で割った余り」
> というのを初めて知ったのですが、この定理は何という定理ですか?

定理というほどのものではありませんので、名前はおそらくないと思います。

> そして、これは自然に思いつけることなのでしょうか?

「P(x)を(x+1)を割った余りが○、(x-2)で割った余りが△」のような問題を
ある程度の個数(必要な個数は人によって違います)解いていれば、
自然に思いつくと思います。

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62177.Re: 難しい整式の除法  
名前:みさき    日付:2019年3月15日(金) 16時54分
ありがとうございます。

すごくわかりやすかったです。


>6をQ(x)で割った余りは6
は、どうやったのですか?



ちなみに、
「P(x)をQ(x)で割った余り」=「『P(x)をQ(x)R(x)で割った余り』をQ(x)で割った余り」
というのを初めて知ったのですが、この定理は何という定理ですか?
そして、これは自然に思いつけることなのでしょうか?

よろしくお願いします。
(数学愛好猫/質問者)

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62161.Re: 難しい整式の除法  
名前:らすかる    日付:2019年3月15日(金) 2時48分
P(x)をQ(x)R(x)で割った余りをA(x)、
A(x)をQ(x)で割った余りをB(x)とすると
P(x)=Q(x)R(x)S(x)+A(x) (S(x)はある多項式)
A(x)=Q(x)T(x)+B(x) (T(x)はある多項式)
と表せますので、
P(x)=Q(x)R(x)S(x)+A(x)
=Q(x)R(x)S(x)+Q(x)T(x)+B(x)
=Q(x){R(x)S(x)+T(x)}+B(x)
となり、B(x)はP(x)をQ(x)で割った余りとなります。
従って
「P(x)をQ(x)で割った余り」=「『P(x)をQ(x)R(x)で割った余り』をQ(x)で割った余り」
です。

同様のことを数値で考えると、例えば
「1234567を10で割った余り」は7
「1234567を1000で割った余り」は567
「567を10で割った余り」は7
のように、
「1234567を10で割った余り」=「『1234567を1000で割った余り』を10で割った余り」
となりますね。これと同様です。


R(x)=x-1が出てくるのは
{1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)}(x-1)=x^n-1
という公式を知っているからです。
等比級数の和の公式
1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)=(1-x^n)/(1-x)
の両辺に-(1-x)を掛けても同じ式になります。
この式は知らなければ覚えましょう。


例えばP(x)をx-aで割った余りはP(a)ですね(剰余の定理)。
これはP(x)をx-aで割った商をQ(x)、余りをR(x)とすると
P(x)=(x-a)Q(x)+R(x)であり、この式にx=aを代入すれば得られます。
1+x^12+x^24+x^36+x^48+x^60をx^6-1で割った余りは、
x^6=yとおけば
1+y^2+y^4+y^6+y^8+y^10をy-1で割った余りですから
y=1とすれば求まります。

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62155.Re: 難しい整式の除法  
名前:みさき    日付:2019年3月15日(金) 0時0分
ありがとうございます。

「P(x)をQ(x)で割った余り」=「『P(x)をQ(x)R(x)で割った余り』をQ(x)で割った余り」
の部分がよくわかりません。

また、4行目の「R(x)=x-1」
は、どこから出てくるのですか?

「P(x)をx^6-1で割った余りはx^6=1とすることで6とわかり」
の部分のよくわかりません。
(数学愛好猫/質問者)

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62154.Re: 難しい整式の除法  
名前:らすかる    日付:2019年3月14日(木) 23時21分
「P(x)をQ(x)で割った余り」=「『P(x)をQ(x)R(x)で割った余り』をQ(x)で割った余り」
が成り立ちます。よって
P(x)=1+x^12+x^24+x^36+x^48+x^60、Q(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5のとき
R(x)=x-1とするとQ(x)R(x)=x^6-1ですから、
P(x)をx^6-1で割った余りを求め、その結果をQ(x)で割った余りを求めれば
P(x)をQ(x)で割った余りが求まります。
P(x)をx^6-1で割った余りはx^6=1とすることで6とわかり、
6をQ(x)で割った余りは6ですから、結局
1+x^12+x^24+x^36+x^48+x^60を1+x+x^2+x^3+x^4+x^5で割った余りは6となります。

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62153.難しい整式の除法  
名前:みさき    日付:2019年3月14日(木) 23時5分
1+x^12+x^24+x^36+x^48+x^60

1+x+x^2+x^3+x^4+x^5
で割ったときの余りは
どのようにして求めることができるのですか?
(数学愛好猫/質問者)

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