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62174.Re: 漸化式  
名前:ppp    日付:2019年3月15日(金) 15時49分
らすかる さん ありがとうございます。
eが出てくるとは驚きです。今後ともよろしくお願いします。
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62171.Re: 漸化式  
名前:らすかる    日付:2019年3月15日(金) 14時8分
a[1]=0,a[2]=1,a[n+2]=(n+1)(a[n]+a[n+1])
a[n+2]-(n+2)a[n+1]=-{a[n+1]-(n+1)a[n]}
b[n]=a[n+1]-(n+1)a[n]とおくと
b[n+1]=-b[n],b[1]=a[2]-2a[1]=1なので
b[n]=(-1)^(n-1)
よって
a[n+2]-(n+2)a[n+1]=b[n+1]=(-1)^n=(-1)^(n+2)
これはn=0としても成り立つので、n≧2として
a[n]-na[n-1]=(-1)^n
(a[n]-na[n-1])/n!=(-1)^n/n!
a[n]/n!-a[n-1]/(n-1)!=(-1)^n/n!
Σ[k=2〜n]{a[k]/k!-a[k-1]/(k-1)!}=Σ[k=2〜n](-1)^k/k!
(左辺)=a[n]/n!-a[1]/1!=a[n]/n!
(右辺)=Σ[k=0〜n](-1)^k/k!
∴a[n]=n!Σ[k=0〜n](-1)^k/k!
これはn=1でも成り立つ。
(多分ここまででOK)

ところで
1/e=e^(-1)=Σ[k=0〜∞](-1)^k/k!
なので
n!/e-a[n]=n!Σ[k=n+1〜∞](-1)^k/k!
|n!/e-a[n]|=|n!Σ[k=n+1〜∞](-1)^k/k!|
 =n!|Σ[k=n+1〜∞](-1)^k/k!|
 <n!/(n+1)!
 =1/(n+1)
 ≦1/2
従って
-1/2<n!/e-a[n]<1/2
a[n]-1/2<n!/e<a[n]+1/2
a[n]<n!/e+1/2<a[n]+1
となるので、
a[n]=[n!/e+1/2]
(右辺の[ ]はガウス記号)

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62167.漸化式  
名前:ppp    日付:2019年3月15日(金) 12時3分
いつもお世話になっています。次の漸化式の一般項を教えてください。
数列をa(n),n=1,2,3,・・・で表すことにします。
漸化式 a(n+2)=(n+1)×(a(n)+a(n+1)),a(1)=0,a(2)=1 です。
よろしくお願いします。
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